Halla el menor número natural de cinco cifras cuyo producto de dígitos sea $3\, 024$.
Simón solucionó la tarea en los siguientes pasos:
(1) Halló la descomposición en factores primos del número $3\, 024$: $$\begin{aligned} 3 024&=2\cdot1\, 512=\cr &=2\cdot2\cdot756= \cr &=2\cdot2\cdot2\cdot378=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot189=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot63=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot21=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cr \end{aligned}$$
(2) Reescribió el resultado como el producto de cinco factores de un dígito: $$3\, 024=2^4\cdot3^3\cdot7^1=2\cdot2^3\cdot3\cdot3^2\cdot7^1$$
(3) Afirmó que los cinco dígitos más pequeños cuyo producto es $3\, 024$ son: $$2, 8, 3, 9, 7$$
(4) Simón ordenó los dígitos en orden ascendente y afirmó que el menor número natural de cinco dígitos cuyo producto de dígitos es $3\, 024$ es: $$23\, 789$$ ¿Es correcta la solución de Simón? Si no es así, identifica dónde cometió un error en el procedimiento.
La solución de Simón es correcta.
El error está en el paso (1). Simón cometió un error en la descomposición en factores primos del número $3\, 024$.
El error está en el paso (3). Simón no eligió las cifras correctas para el número de 5 cifras que buscaba para hacerlo lo más pequeño posible.
El error está en el paso (4). Simón no escribió el número natural más pequeño posible a partir de los dígitos encontrados.
Simón no se ha dado cuenta de que el número $1$ no está incluido en la descomposición en números primos. Aunque no es un número primo, es a la vez una cifra y un número. Por lo tanto: $$3\, 024=1\cdot2^4\cdot3^3\cdot7^1=1\cdot(2\cdot3)\cdot 2^3\cdot3^2\cdot7^1$$ Los cinco dígitos más pequeños cuyo producto es $3\, 024$ son: $$1, 6, 8, 9, 7.$$ Cuando se ordenan en orden ascendente, obtenemos el número natural más pequeño de cinco dígitos, $16\, 789$, cuyo producto de dígitos es $3\, 024$.