Najděte nejmenší pěticiferné přirozené číslo, jehož součin číslic je $3\, 024$.
Simona vyřešila úlohu v následujících krocích:
(1) Našla rozklad čísla $3\, 024$ na součin prvočísel: $$\begin{aligned} 3 024&=2\cdot1\, 512=\cr &=2\cdot2\cdot756= \cr &=2\cdot2\cdot2\cdot378=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot189=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot63=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot21=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cr \end{aligned}$$
(2) Výsledek přepsala jako součin pěti jednociferných činitelů: $$3\, 024=2^4\cdot3^3\cdot7^1=2\cdot2^3\cdot3\cdot3^2\cdot7^1$$
(3) Tvrdila, že pět nejmenších číslic, jejichž součin je $3\, 024$, jsou: $$2, 8, 3, 9, 7$$
(4) Seřadila číslice vzestupně a tvrdila, že nejmenší pětimístné přirozené číslo, jehož součin je $3\, 024$, je: $$23\, 789$$ Je řešení Simony správné? Pokud ne, určete, kde udělala Simona v řešení chybu.
Řešení Simony je správné.
Chyba je v kroku (1). Simona udělala chybu při rozkladu čísla $3\, 024$ na prvočísla.
Chyba je v kroku (3). Simona nezvolila správně takové číslice v 5ciferném čísle, aby bylo co nejmenší.
Chyba je v kroku (4). Simona z určených číslic nevytvořila nejmenší možné přirozené číslo.
Simona si neuvědomila, že číslo $1$ není zahrnuté v rozkladu prvočísel. I když to není prvočíslo, je to číslice i číslo. Proto: $$3\, 024=1\cdot2^4\cdot3^3\cdot7^1=1\cdot(2\cdot3)\cdot 2^3\cdot3^2\cdot7^1$$ Pět nejmenších číslic, jejichž součin je $3\, 024$ tedy jsou: $$1, 6, 8, 9, 7.$$ Po jejich vzestupném uspořádání dostaneme nejmenší pětimístné přirozené číslo $16\, 789$, jehož součin číslic je $3\, 024$.