La figura muestra las gráficas de dos funciones que se cruzan en dos puntos. Las dos funciones son $f(x)=k\cdot |x-m|+n$ y $g(x)=ax+b$. Hallar las coordenadas del punto $M$, donde la gráfica de la función $g$ corta al eje $y$.
El procedimiento:
(1) Utilizando la información de que la gráfica de la función $f$ pasa por los puntos $[3,2]$ and $[4,3]$, podemos determinar que $k=1$, $m=3$, and $n=2$. Por lo tanto: $$ f(x)=|x-3|+2 $$
(2) A continuación, hallamos las coordenadas de los dos puntos de intersección de las gráficas. Podemos observar en la figura que uno de estos puntos es el punto $[4,3]$, y el segundo punto de intersección $x$ tiene una coordenada $1$. Calculamos su coordenada $y$ a partir de la ecuación de la función $f$: $$ f(1)=|1-3|+2=4 $$
Por lo tanto, el segundo punto de intersección es $[1,4]$.
(3) Ahora necesitamos determinar los valores de $a$ y $b$ para la función lineal $g(x)=ax+b$. Encontramos $a$ y $b$ resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: $$ \begin{aligned} 3 & =a\cdot 4+b\cr 4 & =a\cdot 1+b \end{aligned} $$
Por ejemplo, podemos aislar $b$ de ambas ecuaciones y comparar las expresiones obtenidas. De la primera ecuación, obtenemos $b=3-4a$, y de la segunda ecuación obtenemos $b=4-a$.
Por lo tanto: $$ \begin{aligned} 3-4a & =4-a \cr -4a+a & =4-3 \cr -3a & =1 \cr a & =-\frac13 \end{aligned} $$
A continuación, sustituimos el valor de a en la ecuación $b=4-a$, i.e.: $$ b=4-\left(-\frac13\right)=\frac{13}{3} $$ Esto significa que la ecuación de la función $g$ es: $$ g(x)=-\frac13x+\frac{13}{3} $$
(4) Por último, calculamos la coordenada $y$ del punto $M$. La función lineal $g$ corta el eje $y$ en el punto $M=[0,g(0)]=[0,\frac{13}{3}]$.
¿Hay algún error en el procedimiento descrito? En caso afirmativo, indica dónde.
Sí. Hay un error en el paso (1). Es cierto que a partir de la imagen podemos determinar que $m=3$ and $n=2$. Sin embargo, no es cierto que $k=1$. Dado que la función $f$ es decreciente en el intervalo $(-\infty ,3]$ y creciente en el intervalo $[ 3,+\infty )$, debemos determinar el valor de k por separado para cada intervalo. En el intervalo $(-\infty ,3]$, tenemos $k=-1$, y en el intervalo $[ 3,+\infty )$, $k=1$.
Sí. Hay un error en el paso (2). No podemos concluir que ambas gráficas pasan por el punto $[1,4]$. Sustituyendo $x=1$ en la función $f$, obtenemos un punto que está sobre la función $f$, no sobre $g$.
Sí. Hay un error en el paso (3). El conjunto de ecuaciones es incorrecto. Debería haber sido: $$ \begin{aligned} 4 & =a\cdot 3+b \cr 1 & =a\cdot 4+b \end{aligned} $$
Sí. Hay un error en el paso (4). Las coordenadas del punto $M$ son $[\frac{13}3,0]$.
No. Todo el procedimiento es correcto.
Dado que la función $$ f(x)=k\cdot |x-m|+n $$ es decreciente en el intervalo $(-\infty ,3]$ y creciente en $[ 3,+\infty )$, Está claro que $m=3$, i.e., $$ f(x)=k\cdot |x-3|+n. $$ La condición $f(3)=2$ nos da $n=2$, i.e., $$ f(x)=k\cdot |x-3|+2. $$ Finalmente, de $f(4)=3$ obtenemos $3=k+2$, i.e., $k=1$. De modo que la ecuación de la función $f$ es: $$ f(x)=|x-3|+2. $$
