A Bob se le encargó determinar la magnitud máxima de velocidad que puede alcanzar una masa puntual sobre un muelle que oscila armónicamente (a lo largo de una línea recta) en un entorno sin resistencia. Su movimiento se describe mediante la ecuación: $$ y(t)=0.8\sin (\pi t), $$ donde $y(t)$ representa la desviación de la posición de equilibrio en metros $t$ representa el tiempo en segundos.
En primer lugar, Bob calculó la primera derivada de $y$ on respecto al tiempo y obtuvo la ecuación de la velocidad en el tiempo $t$: $$ v(t)=y'(t)=0.8\cos (\pi t) $$
Se dio cuenta de que la función coseno toma el valor máximo de $+1$ (y el valor mínimo de $-1$), por lo que concluyó que la magnitud máxima de la velocidad era $0.8\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
¿Ha resuelto Bob la tarea correctamente? Explícalo.
No. No calculó la derivada $y'(t)$ correctamente.
No. La velocidad $v(t)$ no es igual a $y'(t)$.
Sí. Se calculó correctamente la magnitud de velocidad máxima.
No. La magnitud de velocidad máxima no puede calcularse a partir de la ecuación dada.
Al tomar la derivada de $y(t)$, Bob olvidó aplicar la regla de la cadena y diferenciar la función interna. La diferenciación correcta es: $$ v(t)=y'(t)=0.8\pi \cos (\pi t). $$ Por lo tanto, la magnitud máxima de la velocidad es $0.8\pi\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1} \doteq 2.51\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
La máxima magnitud de velocidad se alcanza en los momentos $t\geq 0$ que satisfacen $\cos (\pi t)=1$ or $\cos (\pi t)=-1$. En estos casos, la magnitud de velocidad es máxima pero el vector velocidad tiene la dirección opuesta. No es difícil comprobar que la magnitud de velocidad máxima se alcanza en todo momento $t\in \mathbb{N} \cup {0}$ (véase el gráfico de la imagen siguiente).
