Se pidió a Cecil que calculara $\cos\frac{x}{2}$ sin calculadora, sabiendo que: $$\sinx=-\frac{\sqrt{56}}{9},\ \mathrm{ y }\ x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right).$$
¿En qué paso cometió un error Cecil?
Resolución de Cecil:
(1) Cecil afirmó que $\cos^2x=1-\sin^2x$ y entonces se cumple: $$\cos^2x=1-\frac{56}{81}$$
(2) De esa igualdad, expresó $\cos x$: $$cosx=\frac59$$
(3) Luego, Cecil afirmó que $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\cosx}{2}}$$ y, por tanto, podía escribir: $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\frac59}{2}}$$ (4) Para finalizar, a partir de la igualdad anterior, Cecil expresó $\cos\frac{x}{2}$ como: $$\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt7}{3}$$
El error está en el paso (1). La identidad trigonométrica que usó Cecil no es correcta. La igualdad correcta debería ser: $$\cos^2x=1+\frac{56}{81}$$
El error está en el paso (2). Como $x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right)$, entonces $\cosx<0$. Por lo tanto, debería ser: $$\cosx=-\frac59$$
El error está en el paso (3). Cecil no utilizó bien la identidad trignométrica. Debería ser: $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{9}}{2}}$$
El error está en el paso (4). Como $x\in\left(\frac32 \pi,2\pi\right)$ entonces $\frac{x}{2}\in\left(\frac34\pi,\pi\right)$. Por lo tanto, $\cos\frac{x}{2}<0$ luego: $$\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$