Expresión de Función

Hola, mi nombre es Iva. Ayer resolví esta tarea:

En la imagen, se representa gráficamente una función cuadrática $f(x)=x^2+px+q$, donde $p,q\in \mathbb{R}$, y se señala un punto $A$. Determina las coordenadas de $A$.

Aquí está mi solución:

1) Primero, sustituí las coordenadas del punto $[0;-10]$ en la ecuación de la función $f$, y de la ecuación resultante, obtuve $q$: $$ \begin{gather} -10=0+0p+q \cr q=-10 \end{gather} $$

2) Luego sustituí las coordenadas del punto $[2; 0]$ en la misma ecuación: $$ 0=4+2p+q $$ Usando $q=-10$, despejé $p$: $$ \begin{gather} 0=4+2p-10\cr -2p=4-10\cr -2p=-6\cr p=3 \end{gather} $$

3) Estaba convencida de que la suma de las raíces de una ecuación cuadrática $x^2+px+q=0$ es $-p$. Como vi en la gráfica de $f$ que una de las raíces es $x_1=2$, la sustituí en la ecuación $x_1+x_2=-p$ y encontré la otra raíz: $$ \begin{gather} 2+x_2=-3\cr x_2=-5 \end{gather} $$

4) Concluí que las coordenadas del punto $A$ eran $[-5; 0]$.

Luego mis amigos comentaron la solución:

Elisabeth: "Todo tu procedimiento resolviendo la tarea iba bien hasta el paso (4), ya que no escribiste las coordenadas correctamente. Deberían ser $[0; -5]$.“

Michael: "Hay un error en el paso (2). Al aplicar $q=-10$ se obtiene $$ \begin{gather}
0=2p+6\cr p=-3 \end{gather} $$ Tendrás que volver a calcular el resto.“

Petra: "Has llegado a la solución correcta, pero tu procedimiento es innecesariamente complicado. De la imagen, vemos que una de las raíces es $x_1=2$. Por tanto, en el paso (2) podrías haber sustituido esta raíz y $q=-10$ en la fórmula de Vieta $x_1 \cdot x_2=q$ obteniendo la ecuación $2\cdot x_2=-10$. La segunda raíz es entonces $x_2=-5$ y las coordenadas del punto $A$ son $[-5; 0]$.“

Roman: "Los pasos (1) y (2) son correctos pero luego yo habría habría resuelto el problema de forma diferente. Conociendo $p$ y $q$, puedes escribir la función cuadrática $f$ como: $$ f(x)=x^2+3x-10. $$ Completando el cuadrado, se encuentra el vértice $V$ de la parábola, que es la gráfica de la función $f$: $$ \begin{gather} f(x)=x^2+3x-10=x^2+3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2-10=\left(x+\frac32\right)^2-\frac{49}{4} \cr V=\left[-\frac32; -\frac{49}{4}\right] \end{gather} $$ El punto $A$ es centralmente simétrico al punto $[2; 0]$ con respecto del punto $[-\frac32; 0]$. Luego la primera coordenada del punto $A$ es: $$ -\frac32-2=-\frac72 $$ Por lo tanto, las coordenadas correctas del punto $A$ son $\left[-\frac72; 0\right]$.“

¿Quién NO cometió errores en su comentario?