Un código PIN está compuesto por $4$ dígitos. Tom quería saber cuántos pines diferentes se pueden crear si un dígito puede repetirse como máximo dos veces. Tom resolvió el problema de la siguiente manera:
(1) Se dio cuenta de que podía usar un total de $10$ dígitos.
(2) Primero, calculó el número total de pines diferentes sin considerar la repetición de los dígitos individuales. Según Tom, hay $10^4=10\,000$ posibilidades.
(3) Luego, clculó el número de posibles pines que no cumplen la condición dada, en concreto los que contienen un dígito que se repite exactamente tres veces:
$\qquad$ a) Hay $10$ tripletes diferentes compuestos por el mismo dígito.
$\qquad$ b) Para cada triplete, hay $4$ formas diferentes de ordenar los dígitos en un pin.
$\qquad$ c) Un triplete del mismo dígito se puede completar para formar un pin usando uno de los $10$ dígitos diferentes.
$\qquad$ d) Por tanto, hay un total de $4\cdot10\cdot10=400$ pines que contienen un triplete del mismo dígito.
(4) Tom no se olvidó del pin "prohibido" de cuatro dígitos iguales. Según Tom, hay $10$ de este tipo.
(5) Para acabar, restó el número de todos los pines "prohibidos" del número total de todos los posibles pines y obtuvo: $$10^4-400-10=9\,590$$ pines diferentes que cumplían la condición dada.
¿Cometió Tom errores en su razonamiento?
No. Tom resolvió el problema correctamente.
Sí. Cometió un error en el paso (2). El número total de pines diferentes sin considerar la repetición de dígitos es $10\cdot9\cdot8\cdot7=5\,040$. Entonces, se pueden crear $5\,040-400-10=4\,630$ pines diferentes cumpliendo la condición dada.
Sí. Cometió un error en el paso (3b). Un triplete solo puede aparecer en un pin de $3$ maneras. Por tanto, hay un total de $3\cdot10\cdot10=300$ pines diferentes que contengan un triplete del ismo dígito. Luego se pueden crear $10^4-300-10=9\,690$ pines diferentes cumpliendo la condición dada.
Sí. Cometió un error en el paso (3c). Un triplete del mismo dígito se puede completar formando un pin válido con exactamente $9$ dígitos diferentes. Por tanto, hay un total de $4\cdot10\cdot9=360$ pines conteniendo un triplete del mismo dígito. Luego se pueden crear $10^4-360-10=9\,630$ pines diferentes cumpliendo la condición dada.