Martina debía averiguar si las funciones $f$, $g$ y $h$ son iguales. $$ f(x)=\frac{x^2-1}{x+1};~~~g(x)=x-1;~~~h(x)=2^{\log_2(x-1) } $$ Simplificó las ecuaciones de las funciones $f$ y $h$ de la siguiente manera: $$ \frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1 $$ $$ 2^{\log_2(x-1)} =x-1 $$ Luego afirmó que todas las funciones dadas eran iguales: $$ f=g=h $$
Sus compañeros comentaron su solución:
Juan argumenta que para determinar la igualdad de funciones no basta con demostrar que sus expresiones son iguales. Necesitamos conocer también sus dominios, que no están dados. Por lo tanto, el problema no tiene solución.
Erica dice que los dominios no son necesarios. Si las funciones tienen las mismas ecuaciones después de simplificarlas, entonces son iguales. Dice que Martina ha resuelto el problema correctamente.
Sarah dice que si no se dan los dominios, hay que encontrarlos. Determina los dominios como: $$D(f)=D(g)=D(h)=\mathbb{R} -\{ -1 \}$$ Está convencida de que las funciones son iguales.
Carlos piensa que las ecuaciones de funciones no deben simplificarse. Pero aún así, está de acuerdo en que $f=g=h$. Si, por ejemplo, sustituimos $x=5$, vemos que $f(5)=g(5)=h(5)=4$.
¿Quién de ellos tiene razón?
Nadie
Erica
Juan
Carlos
Sarah
Dos funciones son iguales si sus dominios son iguales y dan los mismos valores de la función para todos los números de sus dominios.
Si los dominios de las funciones no están especificados, debemos determinarlos. El dominio es el conjunto de todos los valores para los que la expresión dada está definida. En nuestro caso, los dominios son: $$ D(f)=\mathbb{R}-\{-1\},~D(g)=\mathbb{R},~D(h)=(1;\infty) $$ Las funciones no son iguales porque sus dominios no son iguales.