Dados los puntos $K=[1; -4]$, $L=[2; -1]$ y $N=[-3; -2]$, calcular el área del paralelogramo $KLMN$ mediante el producto cruz de vectores convenientemente seleccionados.
Rebecca resolvió esta tarea en los siguientes pasos:
(1) Escribió la fórmula para calcular el área del paralelogramo $KLMN$, que utiliza el producto cruz. El área es $|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v},|$, donde $\,\overrightarrow{u},$ y $\,\overrightarrow{v},$ son vectores laterales, situados en los lados adyacentes del paralelogramo.
(2) Dibujó el paralelogramo y situó vectores en sus lados.
(3) A continuación, calculó las coordenadas de los vectores: \begin{aligned} \overrightarrow{u}&=\overrightarrow{KL}= L - K = (1; 3)\cr \overrightarrow{v}&=\overrightarrow{KN}= N - K = (-4; 2) \end{aligned} y el producto cruz de los vectores $\,\overrightarrow{u}\,$ and $\, \overrightarrow{v}\, $: \begin{array}{ccc} 3 & 1 &3\cr 2 &-4 &2\cr \hline \end{array}
\begin{aligned}
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&=\left(3\cdot(-4) - 2\cdot1; 1\cdot2 - (-4)\cdot3\right)\cr
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&=(-12 - 2; 2 + 12)\cr
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&= (-14; 14)
\end{aligned}
(4) Por último, Rebecca calculó $|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|$: $$|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|=\left|(-14; 14)\right|=\sqrt{(-14)^2+14^2}=\sqrt{196+196}= \sqrt{196\cdot2}=14\sqrt2$$ Y respondió que el área del paralelogramo $KLMN$ es $14\sqrt2$ unidades al cuadrado.
Hay un error en la solución de Rebeca. ¿Dónde cometió un error Rebeca en su procedimiento?
El error está en el paso (1). Rebeca utilizó la fórmula incorrecta para hallar el área de un paralelogramo.
El error está en el paso (2). Rebeca calculó incorrectamente las coordenadas de uno de los vectores.
El error está en el paso (3). Rebecca calculó incorrectamente el producto cruzado de los vectores $\,\overrightarrow{u}\, $ and $\, \overrightarrow{v}\, $.
El error está en el paso (4). Rebeca calculó incorrectamente el valor del área del paralelogramo $KLMN$.
Rebeca intentó determinar el producto cruz para vectores definidos en un plano. No se dio cuenta de que el producto cruz se definía sólo para vectores en el espacio.
Si queremos calcular el área de un paralelogramo utilizando el producto cruz, tenemos que situar el paralelogramo en el espacio. Para ello, añadimos una tercera coordenada del mismo valor a las coordenadas de todos sus vértices (lo más frecuente es elegir una tercera coordenada igual a cero). Veamos el procedimiento correcto:
(1) $K=[1; -4; 0]$, $L=[2; -1; 0]$, $N=[-3; -2; 0]$
(2) \begin{aligned} &\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= L - K = (1; 3; 0)\cr &\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KN}= N - K = (-4; 2; 0)\cr &\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}:\cr &\qquad\qquad\begin{array}{cccc} 3 &0 &1 &3\cr 2 &0 &-4 &2\cr \hline \end{array}\cr &\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(3\cdot0 - 2\cdot0; 0\cdot(-4) - 0\cdot1; 1\cdot2 - (-4)\cdot3) = (0 - 0; 0 - 0; 2 + 12) = (0; 0; 14) \end{aligned}
(3) $$A_{KLMN} =|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|=\left|(0; 0; 14)\right|= \sqrt{0^2+0^2+14^2}=\sqrt{196} = 14 \textbf{ unidades cuadradas}.$$
¿Sabes por qué se puede determinar el área de un paralelogramo mediante la formula $\mathbf{A_{KLMN}=|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|}$?
Coloquemos el paralelogramo en el sistema de coordenadas de forma que se encuentre en el plano $xy$ (ver imagen).
\begin{aligned}
&\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= (u_1; 0; 0)\cr
&\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KN}= (v_1; v_2; 0)\cr
&\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}:\cr
&\qquad\begin{array}{cccc}
0 &0 &u_1 &0\cr
v_2 &0 &v_1 &v_2\cr
\hline
\end{array}\cr
&\qquad\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(0\cdot0 - 0\cdot v_2; 0\cdot v_1 - u_1\cdot 0; u_1\cdot v_2 - 0\cdot v_1)\cr
&\qquad\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}= (0; 0; u_1\cdot v_2)\cr
&|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|= (0; 0; u_1\cdot v_2) =\sqrt{0^2+0^2+(u_1\cdot v_2)^2}=|u_1\cdot v_2 |,
\end{aligned}
donde $u_1$ es la longitud de la base del paralelogramo y $v_2$ es la altura del paralelogramo. Así que
$$|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|=|u_1\cdot v_2 |= \mathbf{A_{KLMN}}.$$
