Problema I

Paris resolvió el siguiente problema de física:

Determina la amplitud y la fase inicial de la oscilación resultante de la composición de dos oscilaciones armónicas de la misma frecuencia en la misma dirección. La primera tiene una amplitud de $A_1=2\,\mathrm{cm}$ y una fase inicial de $\varphi_1=30^{\circ}$. La segunda oscilación tiene una amplitud de $A_2=2\sqrt2\,\mathrm{cm}$ y una fase inicial de $\varphi_2=135^{\circ}$.

¿En qué fase de su solución cometió Paris un error?

Solución: (1) Paris trazó los fasores $\overrightarrow{A_1}$, $\overrightarrow{A_2}$ de las oscilaciones dadas en el plano de Gauss. También dibujó el fasor $\overrightarrow{A}$ de la oscilación compuesta. A continuación, etiquetó los números complejos correspondientes a los puntos finales de estos fasores como $a_1$, $a_2$ y $a$.

(2) Además, Paris expresó $a_1$ y $a_2$ en forma polar: \begin{aligned} a_1&=2\left(\cos30^{\circ}+\mathrm{i}\sin⁡30^{\circ}\right)\cr a_2&=2\sqrt2\left(\cos⁡135^{\circ}+\mathrm{i}\sin⁡135^{\circ}\right)\cr \end{aligned} (3) A continuación, convirtió $a_1$ y $a_2$ a su forma algebraica y determinó $\alpha$ como la suma de ellas: \begin{aligned} a_1&=\sqrt3+\mathrm{i}\cr a_2&=-2+2\mathrm{i}\cr a=a_1+ a_2&=\sqrt3-2+3\mathrm{i} \end{aligned} (4) Entonces, París determinó el valor absoluto: $$|a|=2\sqrt{4-\sqrt3}\doteq 3$$ (5) Encontró el parámetro del número complejo $\alpha$: $$\sin\varphi=\frac{3}{2\sqrt{4-\sqrt3}}\Rightarrow \varphi\doteq 84^{\circ}54^{'}$$

(6) Por último, Paris escribió la conclusión de la tarea: la amplitud de la oscilación compuesta es de aproximadamente $3\, \mathrm{cm}$ y la fase inicial es de aproximadamente $84^{\circ}54^{'}$.