Un profesor pidió a sus alumnos que estudiaran detenidamente el siguiente procedimiento para resolver la ecuación exponencial: $$3^{x+1}-3^x=3^x+9$$
1) Modificamos el lado derecho de la ecuación: $$3^{x+1}-3^x=3^x+3^2$$
2) Ahora hay potencias con base $3$ en ambos lados de la ecuación. Si cancelamos las bases, obtenemos la siguiente relación para los exponentes: $$x+1-x=x+2$$
3) La ecuación $x+1-x=x+2$ se cumple solo si: $$x=-1$$
4) En este caso no es necesario hacer la comprobación.
¿Hay algún error en algún paso? En caso afirmativo, identifica dónde.
Sí. Hay un error en el paso (1). Debería haber sido $3^{x+1}-3^x=3^{x+2}$.
Sí. Hay un error en el paso (2). No es posible cancelar las bases en este caso.
Sí. Hay un error en el paso (3). Debería haber sido $x=\frac12$.
Sí, hay un error en el paso (4). Realizar la comprobación es parte integrante del procedimiento de solución.
No, todo el procedimiento es correcto.
La solución correcta de la ecuación exponencial: $$ 3^{x+1}-3^x=3^x+9 $$
1) Modificamos la expresión $3^{x+1}$ del lado izquierdo de la ecuación, aplicando las reglas de los exponentes: $$ 3^x 3^1-3^x=3^x+9 $$
2) Restamos la expresión $3^x$ en ambos lados de la ecuación: $$ 3^x 3^1-3^x-3^x=9 $$
3) Factorizamos el lado izquierdo y resolvemos la ecuación: $$ \begin{aligned} 3^x (3^1-1-1) & = 9 \cr 3^x & =9 \cr 3^x & =3^2 \cr x & =2 \end{aligned} $$