El profesor eligió a tres alumnos, Pedro, Jorge y Juan, para resolver la ecuación: $$ 2^{x-1}=2-\log_22 $$ En primer lugar, los tres alumnos modificaron la ecuación a la forma $$ 2^{x-1}=1 $$ Luego procedieron de otra manera:
Pedro: Afirmó que la ecuación no tenía solución. Razonó que el valor de una potencia de $2$ nunca podía ser igual a $1$.
Jorge: Tomó el logaritmo de ambos lados de la ecuación: $$ \begin{aligned} 2^{x-1} & =1 \cr \log 2^{x-1} & =\log 1 \end{aligned} $$ A continuación, aplicó la regla del logaritmo: $$ \log_a x^n =n \cdot \log_a x $$ y obtuvo la ecuación: $$ (x-1) \log 2=\log 1 $$ Solucionó la ecuación así: $$ \begin{aligned} (x-1) \log2 & =\log 1 \cr x-1 & =\log \frac12 \cr x-1 & =\log 2^{-1} \cr x-1 & =-\log 2 \cr x & =1-\log 2 \end{aligned} $$
Juan: Al darse cuenta de que el número $1$ puede expresarse como $2^0$, reescribió la ecuación como: $$ \begin{aligned} 2^{x-1} & =1 \cr 2^{x-1} & =2^0 \end{aligned} $$ Luego, comparando exponentes para la misma base, obtuvo la solución: $$ \begin{aligned} x-1 & =0 \cr x & =1 \end{aligned} $$ ¿De quién fue el procedimiento correcto?
De Juan
De Pedro
De Jorge
De ninguno de los tres.
El procedimiento de Juan es el correcto.
Pedro cometió el error al afirmar que el valor de una potencia de $2$ nunca puede ser igual a $1$. No se dio cuenta de que $2^0=1$.
Jorge cometió un error en la modificación de la ecuación: $$ (x-1) \log 2=\log 1 $$ Concretamente cometió el error al intentar convertir la expresión $\log 2$ del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho. No es cierto que $$\frac{\log 1 }{\log 2} =\log \frac12$$ Si se hubiera dado cuenta de que $\log 1=0$, habría obtenido la ecuación: $$x-1=0$$ y por tanto la solución correcta.