Un profesor encarga a su clase que resuelva una ecuación logarítmica. Pedro se ofreció voluntario para realizar la solución en la pizarra. La clase observó la solución de Pedro y afirmó que su procedimiento no era correcto. La ecuación logarítmica es: $$ \log_3(x-1)+1= \log_3x $$
(1) En primer lugar, Pedro determinó la condición de existencia para ambos logaritmos, que especificaba también el dominio de la ecuación: $$ \begin{gather} x-1>0 \wedge x>0 \cr x \in (1;\infty) \end{gather} $$
(2) A continuación, aplicando las reglas del logaritmo, modificó el lado izquierdo de la ecuación: $$ \log_3( x-1+1)= \log_3x $$
(3) Luego, simplificando la ecuación, obtuvo: $$ \begin{gather} \log_3x= \log_3x \cr 0=0 \end{gather} $$ lo que significa que cada número del intervalo $(0;\infty)$ es una solución de la ecuación: $\log_3x=\log_3x$.
(4) En consecuencia, Pedro llegó a la conclusión de que todo número del dominio de la ecuación dada era una solución. Así pues, el intervalo $(1;\infty)$ es el conjunto solución de la ecuación $\log_3(x-1)+1= \log_3x$.
¿Dónde se equivocó Pedro?
El error está en el paso (1) de la condición de existencia. Debería ser: $$ x-1 \geq 0 \wedge x \geq 0 $$
El error está en el paso (2). La modificación es incorrecta.
El error está en el paso (3). No es posible obtener la misma expresión en ambos lados de la ecuación.
El error está en el paso (3). La ecuación de este paso no tiene solución.
Se identificó correctamente la condición de existencia de ambos logaritmos. Pedro cometió un error en el paso (2). Mostremos la solución correcta: $$ \begin{aligned} \log_3(x-1)+1 & = \log_3x \cr \log_3(x-1)+ \log_33 & = \log_3x \cr \log_3 (3(x-1)) & = \log_3x \cr \log_3(3x-3) & = \log_3x \cr 3x-3 & = x \cr 2x & = 3 \cr x & = \frac32 \end{aligned} $$ La raíz $x=\frac32$ pertenece al dominio de la ecuación y por tanto la ecuación tiene una única solución. Podemos (pero no tenemos que) hacer la comprobación: $$ \begin{aligned} I &= \log_3 \left( \frac32-1\right )+1= \log_3 \frac12+1= \log_3 \frac12+ \log_33= \log_3 \frac32 \cr D &= \log_3 \frac32 \cr I &= D \end{aligned} $$