El alumno Pedro resolvió la ecuación exponencial $$ 10^x+100=10 $$ así:
(1) Reescribió los números $100$ y $10$ como potencias de $10$: $$ 10^x+10^2=10^1 $$
(2) Simplificó el lado izquierdo de la ecuación: $$ 10^{x+2}=10^1 $$
(3) Como ambas expresiones de la igualdad tienen la misma base, concluyó: $$ x+2=1 $$
(4) Resolvió la ecuación resultante: $$ x=-1 $$
(5) Hizo la comprobación de su solución y encontró que: $$ \begin{aligned} I & = 10^{-1}+100=100.1 \cr D & = 10 \cr I & \neq D \end{aligned} $$ Luego afirmó que la ecuación no tenía solución.
¿Cometió Pedro algún error? En caso afirmativo, identifica el paso en el que está el error.
Sí. El error está en el paso (1). El lado izquierdo de la ecuación tiene forma de suma, por lo que el número $100$ no puede reescribirse como $10^2$.
Sí. El error está en el paso (2). La ecuación $10^x+10^2=10^{x+2}$ generalmente no se cumple.
Sí. El error está en el paso (3). La simplificación mencionada sólo puede hacerse cuando la base es menor que $1$.
Sí. El error está en el paso (4). La solución debería haber sido $x=-\frac12$.
Sí. El error está en el paso (5). Al hacer la comprobación, debería haberlo sido: $$ I =10^{−1}+10^2=10^1= 10 $$
No. Todo el procedimiento es correcto.
Para resolver esta ecuación, es esencial conocer las reglas de la exponenciación. Cuando sumamos potencias de la misma base, no es posible sumar sus exponentes. Dicha operación sólo se puede utilizar cuando multiplicamos potencias de la misma base. La solución correcta es la siguiente: $$ \begin{gather} 10^x+100=10 \cr 10^x=-90 \end{gather} $$ La expresión exponencial $10^x$ no es negativa para ningún número real $x$, por lo que la ecuación no tiene solución. En este caso, realizar la comprobación no es necesario.