A John se le encargó encontrar los puntos de inflexión de la gráfica de la función: $$ f(x)=x^4-4x^3+6x^2-5x $$ Presentó la siguiente resolución:
(1) Primero, decidió hallar la segunda derivada: $$ f''(x)=12x^2-24x+12 $$
(2) Luego, igualó la segunda derivada a cero y obtuvo la ecuación: $$ 12x^2-24x+12=0 $$
(3) Simplificó la ecuación: $$ x^2-2x+1=0 $$ y reescribiendo la identidad notable $(x-1)^2$, obtuvo: $$ (x-1)^2=0 $$ Afirmó que la única solución a esta ecuación es $x=1$.
(4) Sustituyendo $x=1$ en la fórmula de la función, calculó: $$ f(1)=1^4-4 \cdot 1^3+6 \cdot 1^2-5 \cdot 1=-2 $$ y concluyó que el punto $[1;-2]$ es punto de inflexión de la gráfica de la función $f$.
¿Es correcta su resolución? En caso negativo, identifica el paso en el que John cometió un error.
Sí. El procedimiento de resolución es correcto.
No. Cometió un error en el paso (1). La segunda derivada no es correcta.
No. Cometió un error en el paso (3). La ecuación tiene dos soluciones $x=1$ y $x=-1$.
No. Cometió un error en el paso (4). El punto [$1;-2]$ no es punto de inflexión.
No. Toda la resolución es incorrecta. Se debería haber igualado la primera derivada a cero para calcular los puntos de inflexión.
En un punto de inflexión, la segunda derivada (si existe) debe ser igual a $0$. Además, en un punto de inflexión, la segunda derivada debe cambiar de signo, lo que corresponde al cambio de concavidad de una función para pasar de ser estrictamente convexa a estrictamente cóncava, o viceversa. En nuestro problema, tenemos $$ f''(x)=12x^2-24x+12=12 \cdot (x^2-2x+1)=12(x-1)^2, $$ lo que corresponde a una expresión que nunca es negativa. Esto significa que la función $f$ es convexa en $\mathbb{R}$, lo que también es evidente por su gráfica (ver imagen). Por lo tanto, el punto $[1;-2]$ no es un punto de inflexión.
