Tomás y Anna resolvieron el siguiente problema:
En una progresión geométrica infinita convergente $(a_n )$ con términos positivos, el primer término es igual a $4$. Halla la suma de todos los términos de esta progresión si $a_3-a_5=\frac{32}{81}$.
Tanto Tomás como Anna sabían que en la progresión geométrica $(a_n )$ con la razón común $r$ $$ a_3 =a_1 r^2,a_5 =a_1 r^4 $$ y así, establecieron la ecuación: $$ a_1 r^2 -a_1 r^4=\frac{32}{81} $$ Sustituyeron $a_1$ por $4$ y obtuvieron: $$ \begin{gather} 4r^2-4r^4=\frac{32}{81} \cr 81r^2-81r^4=8 \end{gather} $$
Tomás luego continuó así:
(1) Reescribió la última ecuación como: $$ 81(r^2 )^2-81r^2+8=0 $$
(2) Luego redujo la ecuación anterior a una ecuación cuadrática mediante el cambio de variable $t=r^2$: $$ 81t^2-81t+8=0 $$
(3) Solucionó la ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática: $$ \begin{gather} t_{1,2}=\frac{81\pm \sqrt{(-81)^2-4 \cdot 81 \cdot 8}}{2 \cdot 81} \cr t_{1,2}=\frac{81\pm \sqrt{81(81-32) }}{162} \cr t_{1,2}=\frac{81\pm {63}}{162} \cr t_1=\frac19,~ t_2=\frac89 \end{gather} $$
(4) Por último, calculó las sumas de series infinitas $(a_n )$: $$ S_1=\frac{4}{1-\frac19}=\frac92,~~S_2=\frac{4}{1-\frac89}=36 $$ Tom llegó a la conclusión de que hay dos progresiones geométricas infinitas con las propiedades dadas y sus sumas son: $$ S_1=\frac92,~S_2=36 $$
Anna procedió así:
(1) Reescribió la última ecuación como: $$ (9r^2 )^2-9 \cdot (3r)^2+8=0 $$
(2) Luego utilizó el cambio de variable $$ u=3r $$ y modificó la ecuación: $$ u^4-9u^2+8=0 $$
(3) Resolvió la ecuación anterior mediante factorización: $$ \begin{gather} (u^2-1)(u^2-8)=0 \cr u^2=1 \mathrm{~or~} u^2=8 \cr u=\pm 1\mathrm{~or~} u=\pm \sqrt8 \end{gather} $$
(4) Por último, determinó la razón común $r$ de la progresión: $$ r=\frac13, ~~r=\frac{\sqrt8}3 $$
(5) Sólo le quedaba calcular las sumas de las series infinitas: $$ \begin{gather} S_1=\frac{4}{1-\frac13}=6 \cr S_2=\frac{4}{1-\frac{\sqrt8}{3}}=\frac{12}{3-\sqrt8}=12(3+\sqrt8)=36+24\sqrt2 \end{gather} $$
Anna llegó a la conclusión de que hay dos progresiones geométricas infinitas con las propiedades dadas y sus sumas son: $$ S_1=6,~~S_2=36+24 \sqrt2 $$
El profesor les pidió a sus compañeros que comentaran sus soluciones. ¿Qué comentario es el correcto?
Anna obtuvo el resultado correcto.
Tomás obtuvo el resultado correcto.
La solución de Anna no está completa. Faltan dos resultados: $r=-\frac13$ y $r=-\frac{\sqrt8}3$, lo que significa que hay otras dos progresiones geométricas infinitas con las propiedades dadas. Sus sumas son: $$ S_3=\frac{4}{1+ \frac13}=3 $$ y $$ S_4=\frac{4}{1+\frac{\sqrt8}{3}}=\frac{12}{3+\sqrt8}=12(3-\sqrt8)=36-24\sqrt2 $$
Ambos cometieron un error desde el principio. El término general de la progresión geométrica $(a_n )$ con razón común $r$ viene dado por la fórmula $$ a_n=a_1 r^n $$ Por lo tanto, deberían haber resuelto la ecuación: $$ a_1 r^3-a_1 r^5=\frac{32}{81} $$