$a_1$

Ania, Krysia y Ulla debían solucionar la siguiente tarea:

La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica infinita es $14$, y la suma $S$ de todos los términos de la progresión es $\frac{27}{2}$. Calcula el primer término $a_1$ de esta progresión.

Ania resolvió la tarea de la siguiente forma: $$ \begin{gather} a_1+a_1 q+a_1 q^2=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{2} \end{gather} $$ Luego sacó factor común $a_1$ en la primera ecuación y despejó $a_1$ en la segunda: $$ \begin{gather} a_1 (1+q+q^2 )=14 \cr a_1=\frac{27}{2} (1-q) \end{gather} $$ Para finalizar, sustituyó $a_1$ por $\frac{27}{2} (1-q)$ en la primera ecuación y resolvió: $$ \begin{gather} \frac{27}{2} (1-q)(1+q+q^2 )=14 \cr \frac{27}{2} (1+q^3 )=14 \cr 27(1+q^3 )=28 \cr q^3=\frac1{27} \cr q=\frac13 \end{gather} $$ Por lo tanto, obtuvo: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1-\frac13\right)=9 $$

Krysia procedió de la siguiente manera: $$ \begin{gather} a_1 (1+q+q^2 )=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}2 \end{gather} $$ Entonces, en la primera ecuación, escribió la expresión entre paréntesis como un binomio al cuadrado por la identidad notable y despejó $a_1$ en la segunda ecuación: $$ \begin{gather} a_1 (1+q)^2=14 \cr a_1=\frac{27}2 (1-q) \end{gather} $$ Finalmente, sustituyó $a_1$ por $\frac{27}2 (1-q)$ en la primera ecuación y la resolvió: $$ \begin{gather} \frac{27}{2} (1-q) (1+q)^2=14 \cr 27(1-q^3 )=28 \cr -27q^3=1 \cr q=-\frac13 \end{gather} $$ Luego obtuvo: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1+\frac13 \right)=18 $$

Ulla utilizó las fórmulas para la suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica y para la suma de series geométricas infinitas convergentes: $$ \begin{gather} a_1 \frac{1-q^3}{1-q}=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{2} \end{gather} $$ Luego despejó $a_1$ en ambas ecuaciones: $$ \begin{gather} a_1= \frac{14(1-q)}{1-q^3} \cr a_1=\frac{27}{2} (1-q) \end{gather} $$ Mediante la igualación de los miembros derechos de ambas ecuaciones, obtuvo: $$ \frac{14(1-q)}{1-q^3}=\frac{27}{2} (1-q)
$$

Para acabar, eliminó las fracciones multiplicando ambos miembros por $\frac{2(1-q^3 )}{1-q}$ y halló $q$: $$ \begin{gather} 28=27-27q^3 \cr q=-\frac13 \end{gather} $$ Solo faltaba calcular $a_1$: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1+\frac13 \right)=18 $$

¿Cuál de ellas solucionó correctamente la tarea?