Después del examen, un grupo de estudiantes comprobó sus soluciones y Adam escribió su solución en la pizarra. Su tarea consistía en resolver una inecuación logarítmica: $$ \log x-1 \geq 0 $$ La resolución de Adam:
(1) Adam se dio cuenta de que los logaritmos sólo podían tomarse para números positivos. Por lo tanto, añadió una condición a la inecuación dada: $$ \log x-1 \geq 0;x>0 $$
(2) Convirtió el número $0$ del lado derecho de la inecuación en $\log 1$: $$ \log x-1 \geq \log 1 $$
(3) Quitó los logaritmos de ambos lados de la inecuación: $$ x-1 \geq 1 $$
(4) Solucionó la inecuación resultante y escribió el resultado utilizando un intervalo: $$ \begin{gather} x \geq 2 \cr x \in [ 2;\infty) \end{gather} $$
(5) Al final, Adam hizo una comprobación eligiendo un número arbitrario del intervalo anterior. Lo comprueba para $x=100$: $$ \begin{gather} I=\log 100-1=2-1=1 \cr D=0 \cr I>D \end{gather} $$ ¿Es correcta la solución de Adam? Justifica tu respuesta.
No, el error está en el paso (3). Con esta forma, no es posible eliminar los logaritmos de nuestra inecuación porque el número $-1$ no forma parte del logaritmo del lado izquierdo.
No, el error está en el paso (2). No podemos escribir $0=\log 1$. Es un logaritmo con base $10$ y por tanto debería ser $0=\log 10$.
No, el error está en el paso (3). Al eliminar los logaritmos, el signo de la inecuación debería haber cambiado.
Sí, la solución de Adam es correcta.
Adam determinó correctamente la condición para resolver pero cometió un error al eliminar los logaritmos de la inecuación. El procedimiento correcto de resolución de la inecuación debería haber sido:
Establecer las condiciones (sólo se pueden tomar logaritmos para números positivos): $$ \log {x}-1 \geq 0;~x>0 $$ Sumar uno a ambos lados de la inecuación: $$ \log x≥1 $$ Reescribir el lado derecho usando el logaritmo: $$ \log {x} \geq \log 10 $$ Eliminar los logaritmos de la inecuación: $$ x \geq 10 $$ El conjunto de soluciones es el intervalo $[ 10; \infty )$.
Nota: El conjunto de soluciones de nuestra inecuación es un intervalo y la comprobación (paso (5)) no puede realizarse sustituyendo sólo un número seleccionado de este intervalo. En este caso, la comprobación no es necesaria, y no tenemos que hacerla en absoluto.