Senos de los Ángulos

En un triángulo rectángulo, la suma de los cosenos de los ángulos agudos equivale a $\frac{2\sqrt3}{3}$. Calcula el producto de los senos de estos ángulos.

Pedro presentó la siguiente solución en la clase:

(1) Dibujemos un triángulo rectángulo:

(2) En un triángulo rectángulo, el coseno se define como el cociente entre la longitud del lado contiguo y la de la hipotenusa. En la imagen podemos ver que $$ \begin{gather} \cos{\alpha=\frac{b}{c}},~\cos{\beta=\frac{a}{c}} \end{gather} $$ (3) Sabemos que $$ \cos{\alpha+\cos{\beta=\frac{2\sqrt3}{3}}} $$ es decir $$ \frac{a+b}{c}=\frac{2\sqrt3}{3} $$

(4) Ahora, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior y utilizamos el teorema de Pitágoras: $$ \begin{gather} \frac{a^2+2ab+b^2}{c^2}=\frac{4\cdot 3}{9} \cr \frac{c^2+2ab}{c^2}=\frac{4}{3} \end{gather} $$

(5) Por último, simplificamos la ecuación resultante y obtenemos: $$ \begin{gather} 1+\frac{2ab}{c^2}=\frac{4}{3}\cr \frac{ab}{c^2}=-\frac{1}{6} \cr \frac{a}{c}\cdot\frac{b}{c}=-\frac{1}{6} \end{gather} $$

(6) Ahora, fijaos que en el lado izquierdo tenemos el producto de los senos que deberíamos haber calculado, es decir $$ \sin{\alpha\cdot\sin{\beta=-\frac{1}{6}}} $$ Sus compañeros comentaron su solución así:

a) Luisa: La solución de Pedro no es del todo correcta. Cometió un error en el paso (5).

b) Felipe: La solución de Pedro está bien.

c) Anna: Pedro cometió un error en el paso (4) al elevar al cuadrado la ecuación. Debería haber sido: $$ \frac{a^2+2ab+b^2}{c}=\frac{4\cdot 3}{3} $$

d) Sara: Pedro se equivocó en la definición de la razón coseno. Debería haber sido $$ \cos{\alpha=\frac{c}{b}}; \cos{\beta=\frac{c}{a}} $$

e) Juan: El ejercicio no se solucionó correctamente porque perdimos una solución al elevar al cuadrado la ecuación en el paso (4).

f) Erika: El resultado es incorrecto. El seno de cada ángulo de un triángulo rectángulo es un número positivo, por lo que su producto debe ser positivo.

¿Quién tiene razón?