Monika ha sacado el número $123.412$ de un tablero formado con dígitos magnéticos. Quiere utilizar estos dígitos para crear un número de 4 cifras. ¿Cuántos números diferentes de 4 cifras puede formar a partir de las cifras magnéticas obtenidas?
Monika se ha dado cuenta de que algunas cifras están repetidas, y eso no le gusta porque complica la tarea. Sin embargo, decide resolver el problema.
(1) En primer lugar, calcula el total de números de 4 cifras en los que no se repite ninguna cifra. Hay $4! = 24$ números de este tipo.
(2) A continuación, calculó la cantidad de números con dos “unos”:
- Puede colocar dos “unos” en un número de 4 cifras de seis maneras diferentes ($11xy$, $1x1y$, ...).
- Cada colocación de “unos” se puede complementar con los dígitos distintos restantes de $P(3,2) = 3! = 6$ maneras.
- El total de números de 4 cifras que contendrán exactamente $2$ “unos” es $6 \cdot 6 = 36$.
(3) Concluyó que la cantidad de números que contienen exactamente dos "doses" será la misma que la cantidad de números que contienen exactamente dos "unos", que es $36$.
(4) A continuación, Monika examinó los números que contienen dos "unos" y dos "doses". En su opinión, hay $12$ números de este tipo: $\frac{4!}{2!}=12$.
(5) En conclusión, Monika asegura que puede crear números de 4 cifras utilizando las cifras magnéticas sólo de las formas descritas en los pasos (1) a (4). Por lo tanto, puede ensamblar $24 + 36 + 36 + 12 = 108$ números diferentes utilizando las cifras magnéticas.
¿Ha cometido Monika algún error de cálculo? En caso afirmativo, determina en cuál de los pasos.
A pesar de sus dudas, Monika resolvió el problema a la perfección.
Monika cometió su primer error en el paso (1). El total de números de 4 cifras en los que no se repite ninguna cifra es, en realidad, $2 \cdot 4! = 48$. Por lo tanto, el total de números diferentes que se pueden formar a partir de las cifras magnéticas es $48 + 36 + 36 + 12 = 132$.
Monika cometió su primer error en el paso (2). Dos "unos" pueden disponerse en un número de 4 cifras de seis formas distintas, pero podemos complementarlos con las cifras restantes de $P(4,2) = 12$ formas. Por lo tanto, el total de números de 4 cifras que contendrán exactamente $2$ "unos" es $6 \cdot 12 = 72$. De este modo, el número total de números diferentes que se pueden formar es $24 + 72 + 72 + 12 = 180$.
Monika cometió su primer error en el paso (4). El total de números que contienen dos "unos" y dos "doses" es en realidad la mitad de lo que ella calculó, es decir, $\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$. En consecuencia, el número total de números diferentes que se pueden formar es $24 + 36 + 36 + 6 = 102$.