$ 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 $

Tres estudiantes solucionaron la inecuación: $$ 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 $$

Luke se dio cuenta de que la expresión $(x+2)^2$ está en ambos lados, así que decidió dividir ambos lados de la inecuación por $(x+2)^2$. Se dio cuenta de que la división sólo es admisible por una expresión distinta de cero. Así que puso la condición de que $x\neq -2$. Esto dio lugar a una inecuación simplificada: $$ 2(x+2)(x-3)\leq (x^2-4) $$ Redujo aún más la inecuación: $$\begin{gather} 2(x^2-x-6)-x^2+4\leq 0 \cr x^2-2x-8\leq 0 \cr x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1} \cr x_1=4,~x_2=-2 \end{gather} $$

Sabía que la gráfica de la función cuadrática $f(x)=x^2-2x-8$ es una parábola que se abre hacia arriba (debido al coeficiente positivo del término cuadrático) con intersecciones con el eje $x$ en $-2$ y $4$. A partir de esto y de la condición $x\neq -2$, llegó a la conclusión de que la inecuación es cierta para todos los números reales dentro del intervalo: $$ x \in (-2;4 ] $$

Adam solucionó la inecuación así: $$ \begin{gather} 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 \cr 2(x+2)^3(x-3)\leq (x-2)(x+2)(x+2)^2 \end{gather} $$ Dividió ambos lados de la inecuación por $(x+2)^3$ y también estableció la condición de que $x\neq -2$: $$ \begin{gather} 2(x-3)\leq x-2 \cr x\leq 4 \end{gather} $$ Adam afirmó que el conjunto solución de la inecuación es el conjunto de todos los números reales del intervalo: $$ x \in (-\infty ;-2) \cup (-2;4 ] $$

Eva enfocó la inecuación de forma diferente: $$ \begin{gather} 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 \cr 2(x+2)^3(x-3)\leq (x-2)(x+2)(x+2)^2 \cr (x+2)^3(2(x-3)-(x-2))\leq 0 \cr (x+2)^3(x-4)\leq 0 \end{gather} $$ Observó que la expresión del lado izquierdo se hace cero cuando $x=-2$ y $x=4$ y que la expresión es negativa cuando $x>-2$ y $x<4$. Dedujo que la inecuación se cumple si y sólo si: $$ x\in [ -2;4 ] $$ ¿Cuál de los estudiantes solucionó correctamente la inecuación?