Observa cómo resolvió John la siguiente ecuación: $$ \sqrt{x-1+\sqrt{x+2}}=3,~x \in \mathbb{R} $$
(1) Elevó al cuadrado ambos miembros de la ecuación: $$x-1+\sqrt{x+2}=9$$
(2) Dejó sola la expresión radical en el lado izquierdo de la ecuación: $$\sqrt{x+2}=10-x$$
(3) Elevó al cuadrado de nuevo ambos miembros de la ecuación: $$x+2=100−20x+x^2$$
(4) Luego reordenó los términos y resolvió la ecuación resultante: $$ \begin{align} x^2−21x+98=0 \cr D=(−21)^2−4\cdot 1 \cdot 98=49 \cr x_{1,2}=\frac{−(−21)\pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \cr x_1=14 \mathrm{~y~} x_2=7 \end{align} $$
(5) Finalmente, John afirmó que la ecuación dada tenía dos soluciones, $x_1=14$ y $x_2=7$.
El profesor preguntó a los estudiantes si la resolución era correcta y si la ecuación dada realmente tenía dos soluciones. A continuación se muestran las respuestas. ¿Cuál es correcta?
Kate considera que John cometió un error en el paso (4). Debería haber sido de la siguiente manera: $$ \begin{align} x_{1,2}=\frac{-21\pm \sqrt{49}}{2\cdot 1} \cr x_1=-7 \mathrm{~y~} x_2=-14 \end{align} $$ y si sustituyéramos $-7$ o $-14$ por $x$ en la ecuación original, siempre obtendríamos la raíz cuadrada de un número negativo. Según ella, la ecuación no tiene solución.
Fred considera que John cometió un error en el paso (3). Debería haber sido de la siguiente forma: $$ \begin{align} x+2=100−10x+x^2 \cr x^2−11x+98=0 \cr D =(−11)^2−4 \cdot 1 \cdot 98<0 \end{align} $$ lo que significa que la ecuación no tiene solución.
Helena está convencida de que la solución no es correcta. John no ha comprobado las soluciones. La ecuación solo tiene una solución y es $x=7$.
James no está de acuerdo con Helena. En su opinión, la ecuación tiene también la solución $x_1=14$: $I=\sqrt{14−1+\sqrt{14+2}}=\sqrt{13+(−4)}=\sqrt{9}=3=D$, (podemos tomar $\sqrt{16}=\pm 4$), así que todo estaba bien y la ecuación tiene dos soluciones.
La comprobación para $x=7$: $$ I=\sqrt{7-1+\sqrt{7+2}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3,~D=3,~I=D. $$ La comprobación para $x=14$: $$ I=\sqrt{14-1+\sqrt{14+2}}=\sqrt{13+4}=\sqrt{17},~D=3,~I\neq D. $$ Recuerda: ¡La operación de elevar al cuadrado nos da solamente la raíz cuadrada positiva! Por ejemplo, $\sqrt{16}=4$, no ambas $-4$ y $4$, aunque $(-4)^2=4^2=16$.