¿Para qué valor del parámetro $m\in \mathbb{R}$ la inecuación $$ (m+3)x^2+(m−2)x+m−2>0 $$ se cumple para todos los números reales?
Filip presenta su resolución de este problema en clase:
(1) Supongamos primero que la inecuación es lineal, es decir, que el coeficiente del término cuadrático es cero: $$ \begin{gather} m+3=0 \cr m=−3 \end{gather} $$ Para $m=−3$, se tiene la inecuación $−5x−5>0$, que no se cumple para todo número real $x$.
(2) Ahora, supongamos que la inecuación dada es cuadrática. La expresión del miembro izquierdo de la inecuación será positiva para todo $x$ real si la parábola, que es la representación gráfica de la función cuadrática correspondiente, se encuentra totalmente por encima del eje $x$. Esto significa que la parábola no tiene intersecciones con el eje $x$, por lo que el discriminante del polinomio cuadrático debe ser negativo: $$ D=(m−2)^2−4(m+3)(m−2)<0 $$ Resolviendo esta inecuación, obtenemos: $$ \begin{gather} −3m^2−8m+28<0 \cr m_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64+336}}{−6} \cr m_1=−\frac{14}{3}\mathrm{~y~} m_2=2 \end{gather} $$ Factorizando la expresión cuadrática del discriminante, tenemos: $$ −3\left(m+\frac{14}{3}\right)(m−2)<0 $$ Esta inecuación se cumple para $m<−\frac{14}{3}$ o $m>2$.
(3) Por lo tanto se deduce que la inecuación inicial se cumple para todo número real $x$ si y solo si $$m\in\left(−\infty;−\frac{14}{3}\right)\cup (2;+\infty)$$
El profesor pregunta a los estudiantes si consideran que la solución de Filip es correcta. ¿Cuál de los siguientes comentarios es cierto?
Laura: La resolución de Filip no es del todo correcta. En el paso (2), ha olvidado la condición $$m+3>0$$
Sofia: La resolución de Filip es bastante correcta. Al fin y al cabo, el resultado es correcto.
Petr: Filip ha cometido un error en el paso (2). Debería haber obtenido el resultado $m>−\frac{14}{3} \land m<2$. La solución correcta es $$ m\in \left(−\frac{14}{3};2\right) $$
Libor: Filip ha cometido un error en el paso (3). La solución correcta es $$ m\in \{-3\} \cap \left[\left(−\infty;−\frac{14}{3}\right)\cup (2;+\infty)\right] $$
Si la inecuación dada debe ser cuadrática, entonces se cumplirá para todo número real $x$ si se cumplen dos condiciones: $$ \Delta=(m−2)^2−4(m+3)(m−2)<0 \mathrm{~y~} m+3>0 $$ La primera condición $\Delta=(m−2)^2−6(m^2−m−2)<0$ da el resultado $m<−\frac{14}{3} \lor m>2$ y garantiza que la parábola no tiene intersecciones con el eje $x$. La segunda condición $m+3>0$ garantiza que la parábola se abre hacia arriba, lo que, junto con la primera condición, significa que queda totalmente por encima del eje $x$. Cuando resolvemos la inecuación $m+3>0$, obtenemos $m>−3$. Teniendo en cuenta esto y la condición $m\in \left(−\infty;−\frac{14}3\right)\cup (2;+\infty)$ se deduce que la inecuación se cumple para todo número real $x$ si y solo si $$m\in(2;+\infty)$$