Dla jakiej wartości parametru $m\in \mathbb{R}$ zachodzi nierówność $$ (m+3)x^2+(m−2)x+m−2>0 $$ i jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą?
Filip przedstawił swoje rozwiązanie tego problemu na zajęciach:
(1) Załóżmy najpierw, że nierówność jest liniowa, tzn. współczynnik przy drugiej potędze zmiennej x jest równy zero: $$ \begin{gather} m+3=0 \cr m=-3 \end{gather} $$ Dla $m=-3$ otrzymujemy nierówność $-5x-5>0$, która nie jest spełniona dla wszystkich rzeczywistych $x$.
(2) Rozważmy teraz, że dana nierówność jest kwadratowa. Wyrażenie po lewej stronie będzie dodatnie dla wszystkich rzeczywistych $x$, jeśli parabola, czyli wykres odpowiedniej funkcji kwadratowej, leży w całości nad osią $x$. Oznacza to, że parabola nie ma przecięć z osią $x$, więc wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być ujemny: $$ D=(m−2)^2−4(m+3)(m−2)<0 $$ Rozwiązując powyższą nierówność, otrzymujemy: $$ \begin{gather} -3m^2-8m+28<0 \cr m_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64+336}}{−6} \cr m_1=−\frac{14}{3}\mathrm{~i~} m_2=2 \end{gather} $$ Obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego, otrzymujemy: $$ −3\left(m+\frac{14}{3}\right)(m−2)<0 $$ Nierówność ta zachodzi dla $m<-\frac{14}{3}$ lub $m>2$.
(3) Z tego wynika, że początkowo przypisana nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $$m\in\left(-\infty;-\frac{14}{3}\right)\cup (2;+\infty)$$.
Nauczyciel zapytał uczniów, czy uważają rozwiązanie Filipa za poprawne. Który z poniższych komentarzy jest poprawny?
Laura: Rozwiązanie Filipa nie jest całkiem poprawne. W kroku (2) zapomniał o jednym warunku, a mianowicie, że $$m+3>0$$
Sofia: Rozwiązanie Filipa jest całkiem słuszne. Wynik jest poprawny.
Petr: Filip popełnił błąd w kroku (2). Powinien otrzymać wynik $m>-\frac{14}{3} \land m<2$. Prawidłowe rozwiązanie to $$ m\in \left(−\frac{14}{3};2\right) $$
Libor: Filip popełnił błąd w kroku (3). Prawidłowe rozwiązanie to $$ m\in \{-3\} \cap \left[\left(−\infty;−\frac{14}{3}\right)\cup (2;+\infty)\right] $$
Jeśli dana nierówność ma być kwadratowa, to będzie ona zachodzić dla każdego rzeczywistego $x$, jeśli spełnione są dwa warunki: $$ \Delta=(m−2)^2−4(m+3)(m−2)<0 \mathrm{~i~} m+3>0 $$ Pierwszy warunek $\Delta=(m-2)^2-6(m^2-m-2)<0$ daje wynik $m<-\frac{14}{3} \lor m>2$ i gwarantuje, że parabola nie ma przecięć z osią $x$. Drugi warunek $m+3>0$ gwarantuje, że parabola skierowana jest w górę, co w połączeniu z pierwszym warunkiem oznacza, że leży ona całkowicie nad osią $x$. Gdy rozwiążemy nierówność $m+3>0$, otrzymamy $m>-3$. Z tego oraz z warunku $m\in\left(-\infty;-\frac{14}3\right)\cup (2;+\infty)$ wynika, że nierówność zachodzi dla wszystkich rzeczywistych $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $$m\in(2;+\infty)$$.