Monika a Ester řešily následující úlohu:
V trojúhelníku $ABC$ je velikost $\measuredangle ABC$ rovna $120^{\circ}$, $|AC|=6$ a $|BC|=3$. Bod $D$ je průsečíkem osy $\measuredangle ACB$ a úsečky $AB$. Vypočítejte délku úsečky $DB$.
Obě začaly obrázkem,
ve kterém sestrojily kolmici k přímce $AB$ procházející bodem $C$. Tím získaly pravoúhlý trojúhelník $BEC$ s ostrými úhly $30^{\circ}$ a $60^{\circ}$ a přeponou $|BC|=3$.
(1) Určit délky stran $BE$ a $CE$ bylo snadné:
$$
\begin{gather}
|BE|=|BC|\cdot \cos 60^{\circ} =\frac32 \cr
|CE|=|BC|\cdot \sin 60^{\circ} =\frac{3\sqrt3}{2}
\end{gather}
$$
(2) Potom použily Pythagorovu větu k výpočtu délky strany $AE$: $$ |AE|=\sqrt{|AC|^2-|CE|^2}= \sqrt{36-\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{13}}{2} $$ (3) A z toho vypočetly délku strany $AB$: $$ |AB|=|AE|-|BE|=\frac{3\sqrt{13}-3}{2} $$
Monika pokračovala takto:
(4) Usoudila, že pokud je úsečka $CD$ osou $\measuredangle ABC$, pak musí půlit i protější stranu $AB$: $$ |DB|=\frac{1}{2} |AB|=\frac{3\sqrt{13}-3}{4} $$
Ester pokračovala následujícím způsobem:
(4') Napadlo ji, že sečna libovolného úhlu v trojúhelníku dělí protější stranu v poměru délek stran obsahujících tento úhel, tzn.
$$
\frac{|AD|}{|DB|} =\frac{|AC|}{|BC|} =2
$$
(5') Proto $$ \begin{gather} |AD|=2|DB| \cr |DB|=\frac13 |AB|=\frac{3\sqrt{13}-3}{6} \end{gather} $$
Zde je několik komentářů. Který z nich je nepravdivý?
Ester úlohu vyřešila špatně. Strany měly být v tomto poměru: $$\frac{|AD|}{|DB|} =\frac{|BC|}{|AC|} =\frac{1}{2}$$
Monika udělala chybu v kroku (4). Tvrzení, že osa úhlu prochází středem opačné strany obecně neplatí.
Ester předložila správné řešení.
Moničino řešení nebylo správné.
