Algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla

9000037507

Část: 
A
Určete podíl \(\frac{a} {b}\) komplexních čísel \(a\), \(b\). \[ a = \sqrt{3} + 2\mathrm{i},\quad b = \sqrt{2} -\mathrm{i} \]
\(\frac{\sqrt{6}-2} {3} + \mathrm{i}\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}} {3} \)
\(\frac{\sqrt{6}-2} {3} -\mathrm{i}\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}} {3} \)
\(\frac{\sqrt{6}-3} {2} + \mathrm{i}\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}} {2} \)
\(\frac{\sqrt{6}-2} {2} -\mathrm{i}\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}} {2} \)

1003082301

Část: 
B
Jsou daná komplexní čísla \( a=\sqrt2\left(\cos⁡160^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin⁡160^{\circ}\right) \), \( b=3\sqrt2\left(\cos⁡150^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin150^{\circ}\right) \) a \( c=2\left(\cos240^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin240^{\circ}\right) \). Vypočítejte \( a\cdot b\cdot c \).
\(12\left(\cos190^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin190^{\circ}\right) \)
\(12\left(\cos10^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin10^{\circ}\right) \)
\(12\left(\cos⁡10^{\circ}-\mathrm{i}\cdot\sin10^{\circ}\right) \)
\(12\left(\cos⁡190^{\circ}-\mathrm{i}\cdot\sin190^{\circ}\right) \)

1003082302

Část: 
B
Jsou daná komplexní čísla \( a=10\left(\cos\frac43\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac43\pi\right) \), \( b=7\left(\cos150^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin150^{\circ}\right) \) a \( c=5\left(\cos⁡\frac74\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac74\pi \right) \). Vypočítejte \( \frac{a\cdot b}c \).
\( 14\left(\cos⁡\frac5{12}\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac5{12}\pi\right) \)
\( 14\left(\cos\frac14\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac14\pi\right) \)
\( 14\left(\cos\frac{23}{12}\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{23}{12}\pi\right) \)
\( 14\left(\cos\frac54\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac54\pi\right) \)

1003082303

Část: 
B
Jsou daná komplexní čísla \( a=6\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}3+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}3\right) \), \( b=3\sqrt2\left(\cos\frac56\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac56\pi\right) \) a \( c=2\left(\cos240^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin240^{\circ}\right) \). Vypočítejte \( \frac a{b\cdot c} \).
\( \cos\frac{\pi}6+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}6 \)
\( \cos\frac{11}6\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{11}6\pi \)
\( 4\left(\cos\frac{\pi}6\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}6\pi\right) \)
\( 4\left(\cos⁡\frac{11}6\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{11}6\pi\right) \)

1003082305

Část: 
B
Určete, pro která \( [x,y] \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\), jsou čísla \(z_1 = 5 + xy\,\mathrm{i} \) a \( z_2 = x + y - 4\,\mathrm{i} \) komplexně sdružená.
\( [x;y] \in\left\{[4;1],[1;4]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[6;1],[9;4]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[4;9],[1;6]\right\} \)
\([x;y]\in\left\{[-4;9],[-1;6]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[6;-1],[9;-4]\right\} \)

2010013101

Část: 
B
Jsou dána komplexní čísla \(z_{1} = 4\left (\cos \frac{7\pi} {3} + \mathrm{i}\sin \frac{7\pi} {3} \right )\) a \(z_{2} = \frac12\left (\cos \frac{\pi} {6} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi} {6} \right )\). Výraz \(z_{1}\cdot z_{2} \) je roven:
\( 2\mathrm{i}\)
\(- 2\mathrm{i}\)
\(2\)
\(-2\)