Je daná kocka $ABCDEFGH$, kde bod $I$ je stred hrany $AD$ a $J$ je stredom hrany $FG$ a tiež $K$ je stredom hrany $GH$ (pozri obrázok). Zostrojte rez kocky s rovinou $IJK$.
Josef postupoval nasledovne:
(1) Zostrojil úsečku $JK$ a tvrdil, že je jednou zo strán rezu.
(2) Narysoval priamku $p$ rovnobežnú s úsečkou $JK$, ktorá prechádza bodom $I$. Potom označil priesečník priamky $p$ s hranou $AB$ ako bod $N$. Tvrdil, že úsečka $IN$ je ďalšou stranou rezu.
(3) Josef narysoval úsečky $IK$ a $NJ$. Tvrdil, že obidve úsečky sú súčásťou rezu.
(4) Označil priesečník úsečky $IK$ s hranou $DH$ ako bod $M$ a priesečník úsečky $NJ$ s hranou $BF$ ako bod $L$. Potom dospel k záveru, že šesťuholník $INLJKM$ je hľadaný rez.
Urobil niekde Josef chybu? Ak áno, vysvetlite.
Áno. Chyba je v kroku (1). Úsečka $JK$ nie je stranou rezu.
Áno. Chyba je v kroku (2). Úsečka $IN$ nie je stranou rezu.
Áno. Chyba je v kroku (3). Aspoň jedna z úseček $IK$ a $NJ$ nie je súčasťou rezu.
Áno. V kroku (4) je chyba. Úsečka $IK$ a hrana $DH$ sa nepretínajú. Podobne sa úsečka $NJ$ a hrana $BF$ nepretínajú.
Nie. Žiadnu chybu v konštrukcii neurobil.
V kroku (4) je chyba. Priamka $IK$ a hrana $DH$ sú mimobežné a tiež priamka $NJ$ a hrana $BF$ sú mimobežné.
(1) Zostrojte priamku $JK$.
(2) Narysujte priamku $p$ rovnobežnú s priamkou $JK$, ktorá prechádza bodom $I$ a priesečník priamky $p$ s hranou $AB$ označte ako bod $N$.
(3) Predĺžte hranu $CB$ na polpriamku a priesečník priamky $p$ s predĺženou hranou $CB$ (polpriamka $q$) označte ako bod $L$ (pozri obrázok).
(4) Spojte bod $L$ s bodom $M$. Priesečník priamky $JL$ s hranou $BF$ označte ako bod $M$.
(5) Nakreslite priamku $r$ rovnobežnú s priamkou $JM$, ktorá prechádza bodom $I$, a priesečník priamky $r$ s hranou $DH$ označte ako bod $O$.
(6) Zostrojte šesťuholník $INMJKO$, ktorý je hľadaným rezom.
