Supongamos que $ABCDEFGH$ es un cubo y que $I$, $J$, y $K$ son puntos, donde $I$ es el punto medio de la arista $AD$, $J$ es el punto medio de la arista $FG$ y $K$ es el punto medio de la arista $GH$ (ver figura). Construiremos la sección transversal del cubo por el plano $IJK$.
Joey procedió de la siguiente manera:
(1) Construyó el segmento de línea $JK$ y afirmó que era uno de los lados de la sección transversal.
(2) Trazó una recta $p$ paralela a la recta segmento $JK$ que pasa por el punto $I$. Luego marcó la intersección de la recta $p$ y la arista $AB$ como punto $N$. Afirmó que el segmento de recta $IN$ era otro lado de la sección transversal.
(3) Joey dibujó los segmentos de recta $IK$ y $NJ$. Afirmó que ambos segmentos de línea pertenecían a la sección transversal.
(4) Marcó la intersección de la recta segmento $IK$ y la arista $DH$ como punto $M$ y la intersección de la recta segmento $NJ$ y la arista $BF$ como punto $L$. Entonces concluyó que el hexágono $INLJKM$ era la sección buscada.
¿Cometió Joey algún error? Si es así, explícalo.
Sí. Hay un error en el paso (1). El segmento de línea $JK$ no es un lado de la sección transversal.
Sí. Hay un error en el paso (2). El segmento de línea $IN$ no es un lado de la sección transversal.
Sí. Hay un error en el paso (3). Al menos uno de los segmentos de recta $IK$ y $NJ$ no pertenece a la sección transversal.
Sí. Hay un error en el paso (4). El segmento de línea $IK$ y la arista $DH$ no se cortan. Análogamente, el segmento de línea $NJ$ y la arista $BF$ tampoco se cortan.
No. No hay ningún error en el procedimiento.
Hay un error en el paso (4). El segmento de recta $IK$ y la arista $DH$ están oblicuos, y el segmento de recta $NJ$ y la arista $BF$ también lo están..
El procedimiento correcto es el siguiente:
(1) Construye el segmento de recta $JK$.
(2) Dibuja la recta paralela $p$ que pase por el punto $I$ y marca la intersección de la recta $p$ y la arista $AB$ como punto $N$.
(3) Se prolonga la arista $CB$ y se marca la intersección de la recta $p$ y la arista prolongada $CB$ (semirrecta $q$) como punto $L$ (ver figura).
(4) Se une el punto $L$ con el punto $J$. Marcar la intersección obtenida de la arista $BF$ y el segmento de recta $JL$ como punto $M$.
(5) Trazar la recta $r$ paralela al segmento de recta $JM$ que pasa por el punto $I$ y marcar la intersección de la recta $r$ y la arista $DH$ como punto $O$.
(6) Dibuja el hexágono $INMJKO$, que será la sección transversal buscada.
