Je dána krychle $ABCDEFGH$ a body $I$, $J$ a $K$ jsou dány tak, že $I$ je středem hrany $AD$, $J$ je středem hrany $FG$ a $K$ je středem hrany $GH$ (viz obrázek). Sestrojte řez krychle rovinou $IJK$.
Josef postupoval následovně:
(1) Sestrojil úsečku $JK$ a tvrdil, že je jednou ze stran řezu.
(2) Narýsoval přímku $p$ rovnoběžnou s úsečkou $JK$, která prochází bodem $I$. Poté označil průsečík přímky $p$ s hranou $AB$ jako bod $N$. Tvrdil, že úsečka $IN$ je další stranou řezu.
(3) Josef narýsoval úsečky $IK$ a $NJ$. Tvrdil, že obě úsečky jsou součástí řezu.
(4) Označil průsečík úsečky $IK$ s hranou $DH$ jako bod $M$ a průsečík úsečky $NJ$ s hranou $BF$ jako bod $L$. Poté dospěl k závěru, že šestiúhelník $INLJKM$ je hledaný řez.
Udělal někde Josef chybu? Pokud ano, vysvětlete.
Ano. Chyba je v kroku (1). Úsečka $JK$ není stranou řezu.
Ano. Chyba je v kroku (2). Úsečka $IN$ není stranou řezu.
Ano. Chyba je v kroku (3). Alespoň jedna z úseček $IK$ a $NJ$ není součástí řezu.
Ano. V kroku (4) je chyba. Úsečka $IK$ a hrana $DH$ se neprotínají. Podobně se úsečka $NJ$ a hrana $BF$ neprotínají.
Ne. Žádnou chybu v konstrukci neudělal.
V kroku (4) je chyba. Úsečka $IK$ a hrana $DH$ jsou mimoběžné, stejně tak úsečka $NJ$ a hrana $BF$ jsou mimoběžné.
Jeden ze správných postupů je následující:
(1) Sestrojte úsečku $JK$.
(2) Narýsujte přímku $p$ rovnoběžnou s úsečkou $JK$, která prochází bodem $I$, a označte průsečík přímky $p$ s hranou $AB$ jako bod $N$.
(3) Prodlužte hranu $CB$ na polopřímku a označte průsečík přímky $p$ s prodlouženou hranou $CB$ (polopřímka $q$) jako bod $L$ (viz obrázek).
(4) Spojte bod $L$ s bodem $J$. Průsečík úsečky $JL$ s hranou $BF$ označte jako bod $M$.
(5) Narýsujte přímku $r$ rovnoběžnou s úsečkou $JM$, která prochází bodem $I$, a označte průsečík přímky $r$ s hranou $DH$ jako bod $O$.
(6) Sestrojte šestiúhelník $INMJKO$, který je hledaným řezem.
