Michael vie, že grafy funkcií tangens a kotangens spolu nejako súvisia, ale nepamätá si presne ako a snaží sa na to prísť. Začína pozorovaním, že graf funkcie kotangens možno získať posunutím a zrkadlovým obrazom grafu funkcie tangens.
Poznámka: Michael si je vedomý, že funkcia tangens aj funkcia kotangens sú periodické, čo znamená, že v obmedzenom priestore možno nakresliť len časti ich grafov. Aby zjednodušil vysvetlenie svojho postupu, označuje tieto časti ako „grafy týchto funkcií“.
Michaelovo riešenie (pozri obrázok):
(1) Michael najprv načrtol graf funkcie: $$f_1(x)=\mathrm{tg}\, x$$
(2) Potom posunul graf funkcie $f_1$ v zápornom smere osi $x$ o $\frac{\pi}{2}$, čím získal graf funkcie: $$f_2(x)=\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
(3) Potom prevrátil graf $f_2$ okolo osi $x$, aby získal graf funkcie: $$f_3(x)=-\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
(4) Michael tvrdil, že graf $f_3$ sa zhoduje s grafom funkcie kotangens pre všetky $x$ definičného oboru. Na základe svojej úvahy dospel k záveru, že: $$-\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\mathrm{cotg}\, x$$
Je Michaelovo riešenie správne? Ak nie, rozhodnite, v ktorom kroku urobil Michael chybu.
Michael neurobil chybu. Jeho riešenie je správne.
Michael urobil chybu v kroku (1). Graf funkcie $f_1$ je krivka iného tvaru.
Michael urobil chybu v kroku (2). Ak graf $f_2$ získame posunutím grafu $f_1$ v zápornom smere osi $x$ o $\frac{\pi}{2}$, potom: $$f_2(x)=f_1\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\mathrm{tg}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$
Michael urobil chybu v kroku (3). Ak graf $f_3$ získame prevrátením grafu $f_2$ okolo osi $x$, potom $f_3$ je daný: $$f_3(x)=f_2(-x)=\mathrm{tg}\left(-x-\frac{\pi}{2}\right)$$
Michael urobil chybu v kroku (4). Graf funkcie kotangens sa nezhoduje s grafom funkcie $f_3$.
