Peter, Anna, Eliška a Monika dostali úlohu určiť obor hodnôt funkcie $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 $$ s definičným oborom $D(f) = \langle 0, 4\rangle$.
Peter aj Anna najskôr vypočítali funkčné hodnoty v koncových bodoch definičného oboru, teda pre $f(0) = -3$ a $f(4) = 5$. Ďalej sa už ich postupy odlišovali:
Peter: Z vypočítaných hodnôt zistil, že obor hodnôt funkcie je: $$H(f) = \langle -3, 5\rangle$$
Anna: Bola si istá, že obor hodnôt nie je daný len funkčnými hodnotami v krajných bodoch definičného oboru, ale je nutné vypočítať tiež hodnoty v iných bodoch definičného oboru, hlavne pre $x= 1$, $2$ a $3$. Po vypočítaní dostala: $$ f(1) = -4,~f(2) = -3,~f(3) = 0. $$ Nejmenšia hodnota, ktorú vypočítala, bola hodnota $-4$, Anna tak došla k záveru, že oborom hodnôt je: $$ H(f) = \langle -4, 5\rangle $$
Eliška: Prepísala funkciu $f$ takto: $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 4 = (x - 1)^2 - 4 $$ Všimla si, že výraz $(x - 1)^2$ nadobúda na intervale $\langle 0, 4\rangle$ najmenšiu hodnotu pre $x=1$ , pretože tento výraz je pre všetky $x$ nezáporný, a pre $x = 1$ sa rovná nule. Tento výraz nadobúda na intervale $\langle 0, 4\rangle$ maximum pre $x=4$ (hodnota $9$) . Takže $f(1) = -4$ a $f(4) = 5$, čo Elišku viedlo k záveru, že obor hodnôt je: $$ H(f) = \langle -4, 5\rangle $$
Monika: Monike sa páčilo, ako Eliška upravila rovnicu funkcie, ale s ďalším postupom nesúhlasila. Povedala, že obor hodnôt sa dá určiť z grafu funkcie. Vedela, že grafom tejto kvadratickej funkcie je parabola, a protože koeficient kvadratického členu je kladný, tak je parabola otvorená smerom hore. Extrémy sa môžu vyskytovať vo vrchole paraboly alebo v krajných bodoch definičného oboru. " $D(f) = \langle 0, 4\rangle$. Z rovnice: $$ f(x) = (x - 1)^2 - 4 $$ je zrejmé, že vrchol je v bode $x=1$. Je teda treba skontrolovať tri kritické miesta: $$ x = 0,~x = 4~\mathrm{a}~ x = 1. $$ Monika počítala: $$ f(0) = -3,~f(4) = 5~\mathrm{a}~f(1) = -4. $$ Z výpočtu zistila, že minimálna hodnota je $-4$ a maximálna hodnota $5$. Získala tak obor hodnôt: $$ H(f) = \langle -4, 5\rangle $$
Kdo úlohu vyriešil správne?
Eliška aj Monika
Iba Eliška
Iba Peter
Iba Anna
Iba Monika
Nikto
Pri určovaní oboru hodnôt kvadratickej funkcie s obmedzeným definičným oborom nestačí určiť funkčné hodnoty v krajných bodoch definičného oboru. (Petrov postup). Napriek tomu, že Anna získala správny výsledok, jej chyba spočívala v tom, že skúmala iba hodnoty v celočíselných bodoch definičného oboru. Jej postup je nesprávny a mala len šťastie, že dosiahla správny výsledok.