Obor hodnot funkce

Petr, Anna, Eliška a Monika měli za úkol určit obor hodnot funkce $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 $$ s definičním oborem $D(f) = \langle 0, 4\rangle$.

Petr i Anna nejprve počítali funkční hodnoty v krajních bodech definičního oboru. tedy $f(0) = -3$ a $f(4) = 5$ a dále se už jejich postupy lišily:

Petr: Z vypočítaných hodnot usoudil, že obor hodnot dan funkce je: $$H(f) = \langle -3, 5\rangle$$

Anna: Byla přesvědčená, že obor hodnot není dán pouze funkčními hodnotami v krajních bodech definičního oboru, ale je nutné vypočítat také hodnoty v jiných bodech definičního oboru, zejména pro $x= 1$, $2$ a $3$. Po výpočtu dostala: $$ f(1) = -4,~f(2) = -3,~f(3) = 0. $$ Nejmenší hodnotou, kterou vypočítala, byla hodnota $-4$, Anna tak došla k závěru, že oborem hodnot je: $$ H(f) = \langle -4, 5\rangle $$

Eliška: Přepsala funkci $f$ takto: $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 4 = (x - 1)^2 - 4 $$ Všimla si, že výraz $(x - 1)^2$ nabývá na intervalu $\langle 0, 4\rangle$ nejmenší hodnotu pro $x=1$ , protože tento výraz je pro všechna $x$ nezáporný, a pro $x = 1$ je roven nule. Tento výraz nabývá na intervalu $\langle 0, 4\rangle$ maxima pro $x=4$ (hodnota $9$) . Takže $f(1) = -4$ a $f(4) = 5$, což Elišku vedlo k závěru, že obor hodnot je: $$ H(f) = \langle -4, 5\rangle $$

Monika: Monice se líbilo, jak Eliška upravila rovnici funkce, ale s dalším postupem nesouhlasila. Řekla, že obor hodnot lze určit z grafu funkce. Věděla, že grafem této kvadratické funkce je parabola, a protože koeficient kvadratického členu je kladný, je parabola rozevřená nahoru. Extrémních hodnot může být nabyto pouze ve vrcholu paraboly, nebo v krajních bodech definičního oboru $D(f) = \langle 0, 4\rangle$. Z rovnice: $$ f(x) = (x - 1)^2 - 4 $$ je zřejmé, že vrchol je v bodě $x=1$. Je třeba tedy zkontrolovat tři kritická místa: $$ x = 0,~x = 4~\mathrm{a}~ x = 1. $$ Monika počítala: $$ f(0) = -3,~f(4) = 5~\mathrm{a}~f(1) = -4. $$ Z výpočtu zjistila, že minimální hodnotou je $-4$ a maximální hodnotou $5$. Získala tak obor hodnot: $$ H(f) = \langle -4, 5\rangle $$

Kdo úlohu vyřešil správně?