Je daná kvadratická funkcia $f(x) = x^2 - 2x$. Nájdite reálne číslo $k$ tak, aby platila rovnica $$f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right).$$
Karol úlohu vyriešil nasledovne: 1) Najprv vypočítal hodnotu funkcie pre $x=3$: $$ f(3) = 3^2 - 2\cdot 3 = 9 - 6 = 3$$ 2) Podobne vypočítal hodnotu funkcie pre $x=\frac13$: $$ f\left(\frac13\right) = \left(\frac13\right)^2- 2\cdot \frac13 = \frac19 - \frac23 = \frac19 - \frac49 = - \frac39 = - \frac13 $$ 3) Potom dosadil vypočítané hodnoty do danej rovnice: $$ f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right) $$ a dostal: $$ 3 = k\cdot \left(- \frac13\right) $$ 4) Riešenie tejto rovnice je: $$ k = -9 $$ Je Karolove riešenie správne? Ak nie, určte, kde urobil chybu.
Nie. V kroku (1) je chyba. Ide o numerickú chybu.
Nie. V kroku (2) je chyba. Je tam numerická chyba.
Nie. V kroku (3) je chyba. Malo to byť: $$ 3 = k - \frac13 $$
Nie. V kroku (4) je chyba. Správne riešenie rovnice by malo byť: $$ k = - \frac19 $$
Áno, Karolove riešenie je bez chyby.
V kroku (2) sa vyskytla numerická chyba. Správny výpočet je: $$ f\left(\frac13\right) = \left(\frac13\right)^2- 2\cdot \frac13 = \frac19 - \frac23 = \frac19 - \frac69 = - \frac59 $$ Dosadením do danej rovnice dostaneme: $$ \begin{gather} f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right) \cr 3 = k\cdot \left(- \frac59\right) \cr k = - \frac{27}{5} \end{gather} $$