Je dána kvadratická funkce $f(x) = x^2 − 2x$. Najděte reálné číslo $k$ tak, aby platilo: $$ f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right). $$
Karel úlohu řešil takto:
1) Nejprve spočítal hodnotu funkce pro $x=3$: $$ f(3) = 3^2 − 2\cdot 3 = 9 − 6 = 3 $$
2) Obdobně vypočítal hodnotu funkce pro $x=\frac13$: $$ f\left(\frac13\right) = \left(\frac13\right)^2− 2\cdot \frac13 = \frac19 − \frac23 = \frac19 − \frac49 = − \frac39 = − \frac13 $$
3) Pak dosadil vypočítané hodnoty do dané rovnice: $$ f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right) $$ a dostal: $$ 3 = k\cdot \left(− \frac13\right) $$
4) Řešením je: $$ k = −9 $$
Je Karlovo řešení správné? Pokud ne, určete, kde udělal chybu?
Ne, není správné. Udělal chybu v kroku (1), je tam numerická chyba.
Ne, není správné. Udělal chybu v kroku (2), je tam numerická chyba.
Ne, není správné. Udělal chybu v kroku (3). Mělo mu vyjít: $$ 3 = k − \frac13 $$
Ne, není správné. Udělal chybu v kroku (4). Správně mu mělo vyjít: $$ k = − \frac19 $$
Ano, Karlovo řešení je bez chyby.
V kroku (2) je numerická chyba. Správný výpočet je: $$ f\left(\frac13\right) = \left(\frac13\right)^2− 2\cdot \frac13 = \frac19 − \frac23 = \frac19 − \frac69 = − \frac59 $$
Dosazením do zadané rovnice dostaneme: $$ \begin{gather} f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right) \cr 3 = k\cdot \left(− \frac59\right) \cr k = − \frac{27}{5} \end{gather} $$