Dané je parametrické vyjadrenie roviny
$$\rho:\quad \left.\begin{aligned} x&=1-2r+s\cr y&=-2+4r-5s\cr z&=1+r+2s\end{aligned}\right\} \ r,s\in\mathbb{R} $$ a parametrické vyjadrenie priamky $$q:\quad \left.\begin{aligned} x&=3+t\cr y&=t\cr z&=1-3t \end{aligned}\right\} \ t\in\mathbb{R}, $$
Určte vzájomnú polohu roviny $\rho$ a priamky $q$.
Juraj vyriešil úlohu v nasledujúcich krokoch:
(1) Určil súradnice smerového vektora priamky $q$: $$\overrightarrow{u}=(1,1,-3)$$
(2) Potom určil súradnice smerových vektorov $\overrightarrow{v}$ a $\overrightarrow{w}$ roviny $\rho$ a z nich vypočítal súradnice jej normálového vektora $\overrightarrow{n_{\rho}}$: \begin{aligned} \overrightarrow{v}&=(-2,4,1)\cr \overrightarrow{w}&=(1,-5,2) \end{aligned} \begin{aligned} \overrightarrow{n_{\rho}}=\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}&=(4\cdot2-(-5)\cdot 1,1\cdot1-2\cdot(-2),-2\cdot(-5)-1\cdot4)=\cr &=(8+5,1+4,10-4)=(13,5,6) \end{aligned}
(3) Skontroloval, či vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ sú lineárne závislé, t.j. či vektor $\overrightarrow{n_{\rho}}$ je $k$ násobkom vektora $\overrightarrow{u}$, kde $k\in\mathbb{R}$: \begin{aligned} 13&=k\cdot1\Rightarrow k=\frac{1}{13}\cr 5&=k\cdot1\Rightarrow k=\frac15\cr 6&=k\cdot(-3)\Rightarrow k=-\frac12 \end{aligned} Juraj zistil, že neexistuje žiadne také reálne číslo $k$, aby $\overrightarrow{n_{\rho}}=k\cdot\overrightarrow{u}$, a preto sú vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárne nezávislé (nie sú lineárne závislé).
(4) Urobil záver, že ak sú vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárne nezávislé, tak priamka $q$ a rovina $\rho$ sú rôznobežné.
Je Jurajove riešenie správne? Ak nie, tak určte, kde Juraj urobil v postupe chybu.
Jurajove riešenie je správne.
Chyba je v kroku (1). Juraj nesprávne určil súradnice smerového vektora $\overrightarrow{u}$ priamky $q$.
Chyba je v kroku (2). Juraj nesprávne vypočítal súradnice normálového vektora $\overrightarrow{n_{\rho}}$ roviny $\rho$.
Chyba je v kroku (3). Nie je pravda, že vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ sú lineárne nezávislé. Je zrejmé, že existuje nejaké reálne číslo $k$, že $\overrightarrow{n_{\rho}}= k\cdot\overrightarrow{u}$.
Chyba je v kroku (4). Skutočnosť, že normálový vektor roviny a smerový vektor priamky sú lineárne nezávislé, nestačí na určenie vzájomnej polohy priamky a roviny.
Ak sú vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárne závislé, priamka je kolmá na rovinu, t. j. priamka je s rovinou rôznobežná (obrázok d)).
Ak sú vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárne nezávislé, existujú tri možnosti: Priamka a rovina sú rovnobežné, pričom priamka neleží v rovine (obrázok a)), priamka leží priamo v rovine (obrázok b)) alebo priamka je s rovinou rôznobežná (obrázok c)), ale nie je na ňu kolmá.
Ak chceme použiť smerový vektor $\overrightarrow{u}$ priamky $q$ a normálový vektor $\overrightarrow{n_{\rho}}$ roviny $\rho$ na určenie vzájomnej polohy $q$ a $\rho$, je lepšie zistiť, či sú tieto vektory na seba kolmé.
Ak sú $\overrightarrow{n_{\rho}}$ a $\overrightarrow{u}$ na seba kolmé, potom je priamka $q$ buď rovnobežná s rovinou $\rho$ a neleží v nej (obrázok a)), alebo je $q$ rovnobežná s rovinou $\rho$ a leží v nej (obrázok b)).
Ak nie sú $\overrightarrow{n_{\rho}}$ a $\overrightarrow{u}$ na seba kolmé, potom je priamka $q$ rôznobežná s rovinou $\rho$ (obrázok c) alebo d)).
Vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ sú na seba kolmé, ak $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}=0$. Takže zistíme hodnotu ich skalárneho súčinu: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}=1\cdot13+1\cdot5+(-3)\cdot6=13+5-18=0$$
Zistili sme, že vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ sú na seba kolmé. Preto je priamka $q$ buď rovnobežná s rovinou $\rho$ a neleží v nej, alebo priamka $q$ leží v rovine $\rho$. Teraz určíme, ktorá z týchto alternatív je pravdivá:
Z parametrických rovníc priamky $q$ určíme súradnice jej bodu $A$: $$A=[3; 0; 1]$$ Zistíme, či $A$ leží aj v rovine $\rho$:
$$\underline{\begin{aligned} 3 &= 1 - 2r + s\cr 0 &= -2 + 4r - 5s\cr 1 &= 1 + r + 2s \end{aligned}} $$
Z tretej rovnice vyjadríme $r = -2s$ a dosadíme ho do prvej a druhej rovnice: \begin{aligned} 3 &= 1 - 2\cdot(-2s) + s \Rightarrow 2 = 5s \Rightarrow s = \frac25\cr 0 &= -2 + 4\cdot(-2s) - 5s \Rightarrow 2 = -13s \Rightarrow s = -\frac{2}{13} \end{aligned}
Keďže sme vypočítali rôzne hodnoty pre parameter $s$, tak táto sústava rovníc nemá žiadne riešenie. Preto bod $A$ neleží v rovine $\rho$. Teda priamka $q$ je s rovinou $\rho$ rovnobežná, ale $q$ neleží v $\rho$ (obrázok a)).
a) Priamka $q$ je rovnobežná s rovinou $\rho$, ale $q$ neleží v rovine $\rho$.
b) Priamka $q$ leží v rovine $\rho$.
c) Priamka $q$ je rôznobežná s rovinou $\rho$, ale nie je na ňu kolmá.
d) Priamka $q$ je rôznobežná s rovinou $\rho$ a je na ňu aj kolmá.
