Dadas las ecuaciones paramétricas del plano: $$\rho:\quad \left.\begin{aligned} x&=1-2r+s\cr y&=-2+4r-5s\cr z&=1+r+2s\end{aligned}\right\} \ r,s\in\mathbb{R} $$ y las ecuaciones paramétricas de la recta: $$q:\quad \left.\begin{aligned} x&=3+t\cr y&=t\cr z&=1-3t \end{aligned}\right\} \ t\in\mathbb{R}, $$
Determinar la posición relativa del plano $\rho$ y la recta $q$.
George resolvió el problema en los siguientes pasos:
(1) Determinó las coordenadas del vector director de la recta $q$: $$\overrightarrow{u}=(1,1,-3)$$
(2) A continuación, determinó las coordenadas de los vectores directores $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$ del plano $\rho$ y las utilizó para calcular las coordenadas de su vector normal $\overrightarrow{n_{\rho}}$: \begin{aligned} \overrightarrow{v}&=(-2,4,1)\cr \overrightarrow{w}&=(1,-5,2) \end{aligned} \begin{aligned} \overrightarrow{n_{\rho}}=\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}&=(4\cdot2-(-5)\cdot 1,1\cdot1-2\cdot(-2),-2\cdot(-5)-1\cdot4)=\cr &=(8+5,1+4,10-4)=(13,5,6) \end{aligned}
(3) Comprobó si los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{n_{\rho}}$ son linealmente dependientes, es decir, si el vector $\overrightarrow{n_{\rho}}$ es un múltiplo $k$ del vector $\overrightarrow{u}$, dónde $k\in\mathbb{R}$: \begin{aligned} 13&=k\cdot1\Rightarrow k=\frac{1}{13}\cr 5&=k\cdot1\Rightarrow k=\frac15\cr 6&=k\cdot(-3)\Rightarrow k=-\frac12 \end{aligned} George afirmó que no hay $k$ tal que $\overrightarrow{n_{\rho}}=k\cdot\overrightarrow{u}$, y por lo tanto, los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{n_{\rho}}$ son linealmente independientes (no son linealmente dependientes).
(4) Concluyó que como los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{n_{\rho}}$ son linealmente independientes, la recta $q$ corta al plano $\rho$.
¿Es correcta la solución de George? Si no es así, determina en qué se equivocó George.
La solución de George es correcta.
El error está en el paso (1). George determinó incorrectamente las coordenadas del vector director $\overrightarrow{u}$ de la recta $q$.
El error está en el paso (2). George calculó incorrectamente las coordenadas del vector normal $\overrightarrow{n_{\rho}}$ del plano $\rho$.
El error está en el paso (3). No es cierto que los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{n_{\rho}}$ sean linealmente independientes. Es obvio que existe $k$ tal que $\overrightarrow{n_{\rho}}= k\cdot\overrightarrow{u}$.
El error está en el paso (4). El hecho de que el vector normal del plano y el vector director de la recta sean linealmente independientes no es suficiente para determinar la posición relativa de la recta y el plano.
Si los vectores $\overrightarrow{u}$ and $\overrightarrow{n_{\rho}}$ son linealmente dependientes, la recta es perpendicular al plano, es decir, la recta corta al plano (figura d)).
Si los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{n_{\rho}}$ son linealmente independientes, hay tres opciones: la recta y el plano son paralelos (figura a)), la recta está directamente en el plano (figura b)), o la recta corta al plano (figura c)). Para determinar cuál de estas opciones se da, puedes seguir el siguiente procedimiento.
Para utilizar el vector director $\overrightarrow{u}$ de la recta $q$ y el vector normal $\overrightarrow{n_{\rho}}$ del plano $\rho$ para determinar la posición relativa de $q$ y $\rho$, es mejor averiguar si los vectores son perpendiculares.
Si $\overrightarrow{n_{\rho}}$ y $\overrightarrow{u}$ son perpendiculares, entonces la recta $q$ es paralela al plano $\rho$ (figure a)) o la recta $q$ está en el plano $\rho$ (figura b)).
Si $\overrightarrow{n_{\rho}}$ y $\overrightarrow{u}$ no son perpendiculares, entonces la recta $q$ corta al plano $\rho$ (figure c) o d)).
Los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{n_{\rho}}$ son perpendiculares si $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}=0$. Así que comprobamos esta condición: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}=1\cdot13+1\cdot5+(-3)\cdot6=13+5-18=0$$
Hemos comprobado que los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{n_{\rho}}$ son perpendiculares. Por tanto, o bien la recta $q$ es paralela al plano $\rho$ o bien la recta $q$ está en el plano $\rho$. Ahora vamos a determinar cuál de estas alternativas es cierta:
A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta $q$, determinamos las coordenadas de su punto $A$: $$A=[3; 0; 1]$$ Comprobamos si $A$ también está en el plano $\rho$:
$$\underline{\begin{aligned} 3 &= 1 - 2r + s\cr 0 &= -2 + 4r - 5s\cr 1 &= 1 + r + 2s \end{aligned}} $$
De la tercera ecuación obtenemos $r = -2s$ y la sustituimos en la primera y segunda ecuaciones: \begin{aligned} 3 &= 1 - 2\cdot(-2s) + s \Rightarrow 2 = 5s \Rightarrow s = \frac25\cr 0 &= -2 + 4\cdot(-2s) - 5s \Rightarrow 2 = -13s \Rightarrow s = -\frac{2}{13} \end{aligned}
Obtuvimos valores diferentes para $s$, por lo que este sistema de ecuaciones no tiene solución. Por lo tanto, el punto $A$ no se encuentra en el plano $\rho$. Así, la recta $q$ es paralela al plano $\rho$, pero $q$ no está en el plano $\rho$ (figura a)).
a) La recta $q$ es paralela al plano $\rho$, pero $q$ no está en el plano $\rho$.
b) La recta $q$ está en el plano $\rho$.
c) La recta $q$ corta al plano $\rho$.
d) La recta $q$ corta al plano $\rho$ - la recta $q$ será perpendicular al plano $\rho$.
