Juraj dostal za úlohu vyriešiť rovnicu $$4\cdot\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\sqrt8$$ pre reálne hodnoty $x$. Pozrime si jeho riešenie:
(1) Po vydelení rovnice číslom $4$ a zjednodušení pravej strany získal rovnicu v tvare: $$\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$
(2) Použitím substitúcie $\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=a$ transformoval rovnicu na: $$\cosa=-\frac{\sqrt2}{2}$$
(3) Juraj vyriešil vyššie uvedenú goniometrickú rovnicu pre premennú $a$ a našiel riešenia: $$a_1=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad a_2=\frac54\pi+k\cdot2\pi,$$ kde $k\in\mathbb{Z}$.
(4) Potom tieto hodnoty $a$ dosadil späť do substitúcie a získal dve lineárne rovnice pre $x$: $$\frac52x_1+\frac{\pi}{8}=\frac34\pi,\quad\frac52x_2+\frac{\pi}{8}=\frac54\pi$$
(5) Nakoniec vyjadril $x_1$ a $x_2$ z vyššie uvedených rovníc: $$x_1=\frac14\pi+k\cdot2\pi,\quad x_2=\frac{9}{20}\pi+k\cdot2\pi,$$ kde $k\in\mathbb{Z}$.
Juraj však urobil chybu v jednom z jeho krokov. Identifikujte tento krok.
Chyba je v kroku (1). Urobil chybu pri zjednodušovaní pravej strany rovnice. Rovnica mala byť zjednodušená na: $$\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt2}{8}$$
Chyba je v kroku (2). Substitúcia mala byť $\frac52x=a$. Správna rovnica pre $a$ by potom bola: $$\cos a=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\pi}{8}$$
Chyba je v kroku (3). Nie je potrebné vyjadrovať dve riešenia (používaním periódy). Správne riešenie substituovanej rovnice je: $$a=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad\mbox{kde}\ k\in\mathbb{Z}$$
Chyba je v kroku (4). Je potrebné dosadiť späť do substitúcie celé riešenia pre $a$, vrátane násobkov periódy. Následne by najmenšia perióda pre $x$ mala byť $\frac45\pi$.
Chyba je v kroku (5). Neznáma premenná $x$ bola nesprávne vyjadrená z oboch rovníc. Juraj mal dostať: $$x_1=\frac{25}{16}\pi+k\cdot\frac15\pi,\quad x_2=\frac{45}{16}\pi+k\cdot\frac15 \pi,\quad k\in\mathbb{Z}$$
V krokoch (1)–(3) Juraj postupoval správne. Získal: $$a_1=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad a_2=\frac54\pi+k\cdot2\pi,$$ kde $k\in\mathbb{Z}$. Ďalej musíme tieto hodnoty (vrátane periódy) dosadiť späť do substitúcie: $$\frac52x_1+\frac{\pi}{8}=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad\frac52x_2+\frac{\pi}{8}=\frac54\pi+k\cdot2\pi$$ Potom z týchto rovníc vyjadríme $x$. Riešením pôvodnej rovnice sú korene: $$x_1=\frac14\pi+k\cdot\frac45\pi,\quad x_2=\frac{9}{20}\pi+k\cdot\frac45\pi,$$ kde $k\in\mathbb{Z}$.