Jirka dostal za úkol vyřešit rovnici: $$4\cdot\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\sqrt8$$ pro reálné hodnoty $x$. Sledujme jeho řešení:
(1) Po vydělení rovnice číslem $4$ a zjednodušením pravé strany, získal rovnici ve tvaru: $$\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$
(2) Substitucí $\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=a$ získal rovnici ve tvaru: $$\cosa=-\frac{\sqrt2}{2}$$
(3) Jirka vyřešil výše uvedenou goniometrickou rovnici a získal řešení pro $a$:
$$a_1=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad a_2=\frac54\pi+k\cdot2\pi,$$
kde $k\in\mathbb{Z}$.
(4) Tyto hodnoty $a$ pak dosadil zpět do substice a získal dvě lineární rovnice: $$\frac52x_1+\frac{\pi}{8}=\frac34\pi,\quad\frac52x_2+\frac{\pi}{8}=\frac54\pi$$
(5) Nakonec z výše uvedených rovnic vyjádřil $x_1$ a $x_2$: $$x_1=\frac14\pi+k\cdot2\pi,\quad x_2=\frac{9}{20}\pi+k\cdot2\pi,$$ kde $k\in\mathbb{Z}$.
Jirka však v jednom ze svých kroků udělal chybu. Určete tento krok.
Chyba je v kroku (1). Udělal chybu při úpravě pravé strany rovnice. Upravená rovnice měla mít tvar: $$\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt2}{8}$$
Chyba je v kroku (2). Substituce měla být $\frac52x=a$. Správná rovnice pro $a$ by pak měla tvar: $$\cos a=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\pi}{8}$$
Chyba je v kroku (3). Není nutné vyjadřovat dvě řešení (s periodou). Správné řešení dosazené rovnice je: $$a=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad\mbox{kde}\ k\in\mathbb{Z}$$
Chyba je v kroku (4). Do substituce je nutné zpětně dosadit za $a$ kompletní řešení, včetně násobků periody. Nejmenší perioda pro $x$ by tak měla být $\frac45\pi$.
Chyba je v kroku (5). Z obou rovnic byla chybně vyjádřená neznámá $x$. Jirka měl získat: $$x_1=\frac{25}{16}\pi+k\cdot\frac15\pi,\quad x_2=\frac{45}{16}\pi+k\cdot\frac15 \pi,\quad k\in\mathbb{Z}$$
V krocích (1)-(3), Jirka postupoval správně. Získal rovnice: $$a_1=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad a_2=\frac54\pi+k\cdot2\pi,$$ kde $k\in\mathbb{Z}$.
Dále musíme tyto hodnoty (včetně periody) dosadit zpět do substituce: $$\frac52x_1+\frac{\pi}{8}=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad\frac52x_2+\frac{\pi}{8}=\frac54\pi+k\cdot2\pi$$ Potom z těchto lineárních rovnic vyjádříme $x$. Řešení těchto rovnic je: $$x_1=\frac14\pi+k\cdot\frac45\pi,\quad x_2=\frac{9}{20}\pi+k\cdot\frac45\pi,$$ kde $k\in\mathbb{Z}$.