$ \log_2⁡(2 x)+\log_2⁡x=\log_2⁡3 $

Traja študenti Lukáš, Magda a Mária boli skúšaní. Ich úlohou bolo vyriešiť nasledujúcu logaritmickú rovnicu na tabuli: $$ \log_2⁡(2 x)+\log_2⁡x=\log_2⁡3 $$ Na začiatku všetci traja študenti určili podmienky a stanovili definičný obor rovnice: $$ \begin{gather} 2x>0 \wedge x>0 \cr x\in(0;\infty) \end{gather} $$ Potom postupovali odlišne.

Lukáš:

Lukáš upravil ľavú stranu rovnice nasledovne: $$\log_2⁡(3 x)=\log_2⁡3$$ Potom uviedol, že rovnosť logaritmov s rovnakým základom znamená rovnosť výrazov v logaritmoch. Tak získal nasledujúcu lineárnu rovnicu a vyriešil ju: $$ \begin{aligned} 3x & =3 \cr x & =1 \end{aligned} $$ Nakoniec overil, že číslo $1$ patrí do definičného oboru a dospel k záveru, že $x=1$ je riešením rovnice.

Magda:

Magda tiež upravila ľavú stranu rovnice: $$\log_2⁡(2 x^2)=\log_2⁡3$$ Tiež tvrdila, že rovnosť logaritmov s rovnakým základom znamená rovnosť výrazov v logaritmoch. Preto dostala nasledujúcu kvadratickú rovnicu a vyriešila ju: $$ \begin{aligned} 2x^2 & =3 \cr x^2 & =\frac32 \cr x_1 & =-\sqrt{\frac32};x_2=\sqrt{\frac32} \end{aligned} $$ Potom zistila, že číslo $-\sqrt{\frac32}$ nepatrí do definičného oboru rovnice. Preto bola Magda presvedčená, že riešením rovnice je iba $x=\sqrt{\frac32}$.

Mária:

Mária tiež upravila ľavú stranu rovnice pomocou pravidiel pre prácu s logaritmami. Na tabuľu napísala nasledujúci postup: $$ \begin{aligned} \log_2⁡2 x^2 & =\log_2⁡3 \cr 2 \log_2⁡2 x & =\log_2⁡3 \cr 2 (\log_2⁡2+\log_2⁡x) & =\log_2⁡3 \cr 2 \log_2⁡2+2\log_2⁡x & =\log_2⁡3 \cr 2+2\log_2⁡x & =\log_2⁡3 \cr 2\log_2⁡x & =8 – 2 \cr \log_2⁡x & =3 \cr x & =8 \end{aligned} $$ Nakoniec overila, že $8$ patrí do definičného oboru rovnice a uviedla, že $x=8$ je riešením rovnice.

Riešil niekto z nich rovnicu správne? Ak áno, kto?