$ \log_2⁡(2 x)+\log_2⁡x=\log_2⁡3 $

Se examinó a tres estudiantes, Lucas, Natalia y María. Su tarea consistía en resolver la siguiente ecuación logarítmica en la pizarra: $$ \log_2⁡(2 x)+\log_2⁡x=\log_2⁡3 $$ Inicialmente, los tres alumnos identificaron las condiciones de existencia de los logaritmos y determinaron el dominio de la ecuación: $$ \begin{gather} 2x>0 \wedge x>0 \cr x\in(0;\infty) \end{gather} $$ Luego procedieron de diferentes maneras.

Lucas:

Lucas modificó el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera: $$\log_2⁡(3 x)=\log_2⁡3$$ Entonces, afirmó que una igualdad de logaritmos con la misma base implica la igualdad de las expresiones de dentro de los logaritmos. Así, obtuvo la siguiente ecuación lineal y la resolvió: $$ \begin{aligned} 3x & =3 \cr x & =1 \end{aligned} $$ Finalmente, comprobó que el número $1$ pertenecía al dominio y concluyó que $x=1$ era una solución.

Natalia:

Natalia también modificó el lado izquierdo de la ecuación como: $$\log_2⁡(2 x^2)=\log_2⁡3$$ También creía que la igualdad de logaritmos con la misma base implica la igualdad de las expresiones de dentro de los logaritmos. Por lo tanto, obtuvo la siguiente ecuación cuadrática y la resolvió: $$ \begin{aligned} 2x^2 & =3 \cr x^2 & =\frac32 \cr x_1 & =-\sqrt{\frac32};x_2=\sqrt{\frac32} \end{aligned} $$ Después observó que el número $-\sqrt{\frac32}$ no pertenecía al dominio de la ecuación. Por lo tanto, Natalia estaba convencida de que la solución de la ecuación era solo $x=\sqrt{\frac32}$.

María:

María también modificó el lado izquierdo de la ecuación utilizando reglas logarítmicas para simplificarla. Escribió el siguiente procedimiento en la pizarra: $$ \begin{aligned} \log_2⁡2 x^2 & =\log_2⁡3 \cr 2 \log_2⁡2 x & =\log_2⁡3 \cr 2 (\log_2⁡2+\log_2⁡x) & =\log_2⁡3 \cr 2 \log_2⁡2+2\log_2⁡x & =\log_2⁡3 \cr 2+2\log_2⁡x & =\log_2⁡3 \cr 2\log_2⁡x & =8 – 2 \cr \log_2⁡x & =3 \cr x & =8 \end{aligned} $$ Por último, comprobó que $8$ pertenecía al dominio de la ecuación y afirmó que $x=8$ era la solución.

¿Alguno de ellos solucionó correctamente la ecuación? Si es así, ¿quién?