Jana dostala za úlohu vyriešiť logaritmickú rovnicu: $$ \log_2(2x)-\log_2 8=1 $$ Vyriešila ju nasledujúcim spôsobom: (1) Najprv určila definičný obor logaritmu: $$ \begin{aligned} 2x>0 \cr x \in (0;\infty) \end{aligned} $$
(2) Podľa pravidiel logaritmovania upravila ľavú stranu rovnice: $$ \log_22+\log_2x-\log_22+\log_24=1 $$
(3) Potom ľavú stranu rovnice zjednodušila (odčítala $\log_22$): $$ \log_2x+\log_24=1 $$
(4) Potom opäť upravila ľavú stranu rovnice, aby získala logaritmickú rovnicu v základnom tvare: $$ \begin{aligned} \log_2x+\log_22+\log_22=1 \cr \log_2x+1+1=1 \cr \log_2x=-1 \end{aligned} $$
(5) Použila vlastnosť logaritmu: $$ \log_ax=v \Leftrightarrow x=a^v $$ a dostala: $$ \begin{aligned} x & =2^{-1} \cr x & =\frac12 \end{aligned} $$
(6) Zistila, že tento výsledok patrí do definičného oboru. Nakoniec urobila skúšku: $$ \begin{aligned} L & =\log_2(2 \cdot \frac12)-\log_28=\log_2 \frac18=-3 \cr P & =1 \cr L & \neq P \end{aligned} $$
(7) Keďže skúška nevyšla, tak Jana zapísala, že daná rovnica nemá riešenie.
Urobila Jana chybu? Ak áno, uveďte kde:
V kroku (1) urobila chybu v definičnom obore. Malo to byť $2x\geq 0$.
Chybu urobila v kroku (2). Úprava ľavej strany rovnice nie je správna.
Chybu urobila v kroku (4). Nie je pravda, že $\log_24=\log_22+ \log_22$ .
Chyba je v kroku (5). Správne má byť: $$ \begin{aligned} log_2x & =-1 \cr x & =2^{-1}\cr x & =-2 \end{aligned} $$
V tomto postupe nie je žiadna chyba.
Jana urobila chybu v kroku (2), keď zabudla použiť zátvorky. Namiesto: $$ \log_2 2 + \log_2 x − \log_2 2 + \log_2 4 = 1 $$ malo byť: $$ \log_2 2 + \log_2 x − (\log_2 2 + \log_2 4) = 1 $$ Zjednodušením predchádzajúcej rovnice, dostaneme (využijeme $\log_2 4 = 2$): $$\begin{gather} \log_2 x = 3 \cr x = 2^3 \cr x = 8 \end{gather} $$ Koreň $x = 8$ patrí do definičného oboru takže rovnica má len jedno riešenie $x = 8$. Nie je potrebné vykonávať skúšku.
Poznámka: Rovnicu môžme riešiť aj iným spôsobom. Ak použijeme $\log_2 8 = 3$, tak potom môžme zjednodušiť a vyriešiť rovnicu nasledovne: $$ \begin{gather} \log_2(2x) − \log_2 8 = 1 \cr \log_2(2x) = 4 \cr 2x = 2^4 \cr 2x = 16 \cr x = 8\end{gather} $$