$ \log_2(2x)-\log_2 8=1 $

Project ID: 
3000020098
SubArea: 
Równania i nierówności logarytmiczne
Question: 

Jane miała za zadanie rozwiązać równanie logarytmiczne: $$ \log_2(2x)-\log_2 8=1 $$ Rozwiązała go w następujący sposób:

(1) Najpierw określiła dziedzinę logarytmu: $$ \begin{aligned} 2x>0 \cr x \in (0;\infty) \end{aligned} $$

(2) Stosując zasady logarytmu, zmodyfikowała lewą stronę równania: $$ \log_2⁡2+\log_2⁡x-\log_2⁡2+\log_2⁡4=1 $$

(3) Następnie uprościła lewą stronę równania (odejmując $\log_2⁡2$): $$ \log_2⁡x+\log_2⁡4=1 $$

(4) Następnie ponownie zmodyfikowała lewą stronę równania, aby uzyskać równanie logarytmiczne w postaci podstawowej: $$ \begin{aligned} \log_2⁡x+\log_2⁡2+\log_2⁡2=1 \cr \log_2⁡x+1+1=1 \cr \log_2⁡x=-1 \end{aligned} $$

(5) Zastosowała właściwość logarytmu: $$ \log_a⁡x=v \Leftrightarrow x=a^v $$ i otrzymała: $$ \begin{aligned} x & =2^{-1} \cr x & =\frac12 \end{aligned} $$

(6) Zauważyła, że wynik ten należy do domeny. Na koniec dokonała sprawdzenia: $$ \begin{aligned} L & =\log_2⁡(2 \cdot \frac12)-\log_2⁡8=\log_2⁡ \frac18=-3 \cr P & =1 \cr L & \neq P \end{aligned} $$

(7) Ponieważ sprawdzenie nie wyszło, Jane stwierdziła, że podane równanie nie ma rozwiązania. Czy Jane popełniła błąd? Jeśli tak, wskaż gdzie:

Answer 1: 

Popełniła błąd w kroku (1) dotyczącym domeny. Powinno być $2x\geq 0$.

Answer 2: 

Popełniła błąd w kroku (2). Modyfikacja lewej strony równania nie jest poprawna.

Answer 3: 

Popełniła błąd w kroku (4). Nie jest prawdą, że $\log_2⁡4=\log_2⁡2+ \log_2⁡2$ .

Answer 4: 

Błąd tkwi w kroku (5). Powinno być: $$ \begin{aligned} \log_2⁡x & =-1 \cr x & =2^{-1}\cr x & =-2 \end{aligned} $$

Answer 5: 

W procedurze nie ma żadnego błędu.

Fixed Answer: 
All Fixed
Correct Answer: 
Answer 2
Hint: 

Jane popełniła błąd w kroku (2), zapominając o użyciu nawiasów. Zamiast: $$ \log_2 2 + \log_2 x − \log_2 2 + \log_2 4 = 1 $$ powinno być: $$ \log_2 2 + \log_2 x − (\log_2 2 + \log_2 4) = 1 $$ Upraszczając poprzednie równanie, otrzymujemy (zdając sobie sprawę, że $\log_2 4 = 2$): $$\begin{gather} \log_2 x = 3 \cr x = 2^3 \cr x = 8 \end{gather} $$ Źródło $x = 8$ należy do dziedziny, a równanie ma tylko jedno rozwiązanie $x = 8$. Możemy, ale nie musimy przeprowadzić kontrolę.

Uwaga: Równanie można również rozwiązać w inny sposób. Jeśli zdamy sobie sprawę, że $\log_2 8 = 3$ niż możemy uprościć i rozwiązać równanie w następujący sposób: $$ \begin{gather} \log_2(2x) − \log_2 8 = 1 \cr \log_2(2x) = 4 \cr 2x = 2^4 \cr 2x = 16 \cr x = 8\end{gather} $$