Robert dostal za úlohu vyriešiť jednoduchú exponenciálnu rovnicu: $$ \frac13(108-3^x)=3^x $$ Rovnicu vyriešil v nasledujúcich krokoch: 1) Začal zjednodušením ľavej strany rovnice: $$ 36-3^x=3^x $$ 2) Potom k obom stranám rovnice pripočítal $3^x$ a spočítal členy na pravej strane: $$ \begin{aligned} 36 & =3^x+3^x \cr 36 & =2 \cdot 3^x \end{aligned} $$
3) Nakoniec vyjadril výrazy na oboch stranách rovnice ako mocniny toho istého základu a porovnal exponenty, aby získal riešenie: $$ \begin{aligned} 36 & =6^x \cr 6^2 & =6^x \cr x & =2 \end{aligned} $$
Urobil Robert nejaké chyby? Ak áno, uveďte kde.
Áno, urobil chyby v krokoch (1) a (3).
Áno, urobil chyby v krokoch (1) a (2).
Áno, urobil chyby v krokoch (2) a (3).
Áno. Chybu urobil len v kroku (1).
Áno. Chybu urobil len v kroku (3).
Nie. Všetky kroky sú správne.
Pozrime sa na správne riešenie rovnice: $$ \frac13(108-3^x)=3^x $$ Po vynásobení oboch strán číslom $3$ dostaneme: $$ 108-3^x=3 \cdot 3^x $$ Potom môžeme k obom stranám rovnice pripočítať $3^x$ a spočítať podobné výrazy na pravej strane: $$ \begin{aligned} 108 & =3 \cdot 3^x+3^x \cr 108 & =4 \cdot 3^x \end{aligned} $$ Následne po vydelení oboch strán číslom $4$ dostaneme: $$ 3^x=27 $$ Nakoniec vyjadrením $27$ ako $3^3$ dostaneme exponenciálnu rovnicu s rovnakým základom na oboch stranách a riešenie získame porovnaním exponentov. $$ \begin{aligned} 3^x & =3^3 \cr x & =3 \end{aligned} $$ Poznámka: Študent urobil prvú chybu v kroku (1), keď nesprávne roznásobil zátvorku. Vynásobil $\frac13$ len prvý člen v zátvorke. Druhú chybu urobil v kroku (3). Rovnosť $2\cdot 3^x=6^x$ všeobecne neplatí.