Robert miał za zadanie rozwiązać proste równanie wykładnicze: $$ \frac13(108−3^x)=3^x $$
Rozwiązał równanie w następujących krokach:
1) Zaczął od uproszczenia lewej strony równania: $$ 36−3^x=3^x $$
2) Następnie dodał $3^x$ do obu stron równania i połączył wyrazy po prawej stronie: $$ \begin{aligned} 36 & =3^x+3^x \cr 36 & =2 \cdot 3^x \end{aligned} $$
3) Na koniec wyraził wyrażenia po obu stronach równania jako potęgi o tej samej podstawie i porównał wykładniki, aby uzyskać rozwiązanie: $$ \begin{aligned} 36 & =6^x \cr 6^2 & =6^x \cr x & =2 \end{aligned} $$ Czy Robert popełnił jakieś błędy? Jeśli tak, wskaż gdzie.
Tak. Popełnił błędy w krokach (1) i (3).
Tak. Popełnił błędy w krokach (1) i (2).
Tak. Popełnił błędy w krokach (2) i (3).
Tak. Popełnił błąd tylko w kroku (1).
Tak. Popełnił błąd tylko w kroku (3).
Nie. Wszystkie kroki są prawidłowe.
Zobaczmy prawidłowe rozwiązanie równania: $$ \frac13(108-3^x)=3^x $$ Po pomnożeniu obu stron przez $3$ otrzymujemy: $$ 108-3^x=3 \cdot 3^x $$ Następnie możemy dodać $3^x$ do obu stron równania i połączyć podobne wyrażenia po prawej stronie: $$ \begin{aligned} 108 & =3 \cdot 3^x+3^x \cr 108 & =4 \cdot 3^x \end{aligned} $$ Następnie, dzieląc obie strony przez $4$, otrzymujemy: $$ 3^x=27 $$ Wreszcie, wyrażając $27$ jako $3^3$, otrzymujemy równanie wykładnicze o tej samej podstawie po obu stronach, a rozwiązanie uzyskuje się przez porównanie wykładników. $$ \begin{aligned} 3^x & =3^3 \cr x & =3 \end{aligned} $$ Uwaga: Uczeń popełnił pierwszy błąd w kroku (1), nieprawidłowo rozszerzając nawias. Pomnożył przez $\frac13$ tylko pierwszy człon w nawiasie. Drugi błąd popełnił w kroku (3). Równość $2\cdot 3^x=6^x$ w ogólności nie zachodzi.