Dané sú body $A=[3; -1; -2]$, $B=[5; 2; -3]$, $C=[2; -4; 3]$, $K=[-2; 3; 4]$ a $L=[-3; 1; 6]$. Nech je rovina $\alpha=\overleftrightarrow{ABC}$ a priamka $p = \overrightarrow{KL}$. Pomocou smerového vektora priamky a normálového vektora roviny zistite, či priamka $p$ pretína rovinu $\alpha$. Úlohu riešte bez výpočtu ich prieniku.
Alžbeta túto úlohu vyriešila v nasledujúcich krokoch:
(1) Najskôr napísala:
- Ak sú normálový vektor roviny a smerový vektor priamky na seba kolmé, je priamka rovnobežná s rovinou alebo priamka leží v rovine.
- Ak nie sú normálový vektor roviny a smerový vektor priamky na seba kolmé, priamka a rovina sú rôznobežné.
(2) Vypočítala súradnice smerového vektora priamky $p$: $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= L - K = (-1; -2; 2)$$ (3) Potom určila vektory $\overrightarrow{AB}$ a $\overrightarrow{AC}$: $$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&= B - A = (2; 3; -1)\cr\cr \overrightarrow{AC}&= C - A = (-1; -3; 5) \end{aligned}$$ a vypočítala súradnice normálového vektora roviny $\alpha$: $$\overrightarrow{n_{\alpha}}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$
$$\begin{aligned} \overrightarrow{n_{\alpha}}&=(2\cdot(-3)-(-1)\cdot3; 3\cdot5-(-3)\cdot(-1);-1\cdot(-1)-5\cdot2)=\cr &=(-6+3;15-3;1-10) = (-3;12;-9)\end{aligned}$$
(4) Ďalej vypočítala skalárny súčin $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}=-1\cdot(-3)+(-2)\cdot12 + 2\cdot(-9)=3-24-18 =-45$$
(5) Nakoniec dospela k záveru, že ak vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ nie sú na seba kolmé $(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}\neq0)$, tak sú priamka $p$ a rovina $\alpha$ rôznobežné.
Je Alžbetine riešenie správne? Ak nie, tak určte, kde Alžbeta urobila v postupe chybu.
Alžbetine riešenie je správne.
Chyba je v kroku (1). Alžbetine tvrdenia sú nesprávne.
Chyba je v kroku (3). Alžbeta nesprávne vypočítala súradnice vektora $\overrightarrow{n_{\alpha}}$.
Chyba je v kroku (4). Alžbeta urobila chybu pri výpočte skalárneho súčinu $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$.
Alžbeta nesprávne určila vektor $\overrightarrow{n_{\alpha}}$. Správny postup je nasledovný:
Po určení vektorov $\overrightarrow{AB}= (2; 3; -1)$ a $\overrightarrow{AC}= (-1; -3; 5)$, získame normálový vektor roviny $\alpha$ ich vektorovým súčinom:
$$\overrightarrow{n_{\alpha}}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$
$$\begin{aligned}
\overrightarrow{n_{\alpha}}&=(3\cdot5-(-3)\cdot(-1); -1\cdot(-1)-5\cdot2;2\cdot(-3)- (-1)\cdot3)=\cr
&=(15-3;1-10;-6+3) = (12;-9;-3)
\end{aligned}$$
Teda skalárny súčin vektorov $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$ sa vypočíta ako:
$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}= -1\cdot12 + (-2)\cdot(-9) + 2\cdot(-3) = 0$$
To znamená, že normálový vektor roviny a smerový vektor priamky sú kolmé $(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}=0)$. Preto priamka $p$ je buď rovnobežná s rovinou $\alpha$, alebo priamka $p$ leží v rovine $\alpha$.