Dados los puntos $A=[3; -1; -2]$, $B=[5; 2; -3]$, $C=[2; -4; 3]$, $K=[-2; 3; 4]$ y $L=[-3; 1; 6]$. Sean el plano $\alpha=\overleftrightarrow{ABC}$ y la recta $p = \overrightarrow{KL}$. Usando el vector director de la recta y el vector normal del plano, determina si la recta $p$ interseca con el plano $\alpha$. Resuelve la tarea sin calcular su intersección.
Elizabeth resolvió la tarea mediante los siguientes pasos:
(1) Primero, escribió:
- Si el vector normal del plano y el vector director de la recta son perpendiculares, entonces la recta es paralela al plano o la recta pertenece al plano.
- Si el vector normal del plano y el vector director de la recta no son perpendiculares, entonces la recta interseca al plano.
(2) Determinó el vector director de la recta $p$: $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= L - K = (-1; -2; 2)$$ (3) Luego, determinó los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$: $$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&= B - A = (2; 3; -1)\cr\cr \overrightarrow{AC}&= C - A = (-1; -3; 5) \end{aligned}$$ y el vector normal del plano $\alpha$: $$\overrightarrow{n_{\alpha}}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$
$$\begin{aligned} \overrightarrow{n_{\alpha}}&=(2\cdot(-3)-(-1)\cdot3; 3\cdot5-(-3)\cdot(-1);-1\cdot(-1)-5\cdot2)=\cr &=(-6+3;15-3;1-10) = (-3;12;-9)\end{aligned}$$
(4) Después, calculó el producto escalar $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}=-1\cdot(-3)+(-2)\cdot12 + 2\cdot(-9)=3-24-18 =-45$$
(5) Por último, llegó a la conclusión de que $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ no son perpendiculares $(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}\neq0)$, por lo tanto $p$ interseca al plano $\alpha$.
¿Es correcta la solución de Elizabeth? En caso negativo, determina dónde cometió el error.
La solución de Elizabeth es correcta.
El error está en el paso (1). Las afirmaciones escritas en este paso no son ciertas.
El error está en el paso (3). Elizabeth no determinó correctamente el vector $\overrightarrow{n_{\alpha}}$.
El error está en el paso (4). Elizabeth no determinó correctamente el producto escalar $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$.
Elizabeth no determinó correctamente el vector $\overrightarrow{n_{\alpha}}$. El procedimiento correcto es:
Después de determinar los vectores $\overrightarrow{AB}= (2; 3; -1)$ y $\overrightarrow{AC}= (-1; -3; 5)$, obtenemos el vector normal del plano $\alpha$ como el producto vectorial:
$$\overrightarrow{n_{\alpha}}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$
$$\begin{aligned}
\overrightarrow{n_{\alpha}}&=(3\cdot5-(-3)\cdot(-1); -1\cdot(-1)-5\cdot2;2\cdot(-3)- (-1)\cdot3)=\cr
&=(15-3;1-10;-6+3) = (12;-9;-3)
\end{aligned}$$
Entonces, el producto escalar $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$ se calcula como:
$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}= -1\cdot12 + (-2)\cdot(-9) + 2\cdot(-3) = 0$$
Esto implica que el vector normal del plano y el vector director de la recta son perpendiculares $(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}=0)$. Por tanto, la recta $p$ es paralela al plano $\alpha$ o la recta $p$ pertenece al plano $\alpha$.