Kružnica

Určte súradnice stredu kružnice $k$, ktorá prechádza bodmi $A=[4; 5]$, $B=[2; 1]$ a $C=[-1; 0]$.

Tomáš vyriešil úlohu v nasledujúcich krokoch:

(1) Dosadil súradnice daných bodov do všeobecnej rovnice kružnice $k$: $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, kde $a$, $b$, $c$ sú reálne konštanty a $[x; y]$ sú súradnice ľubovoľného bodu na kružnici: \begin{aligned} A\in k: \ \qquad\quad 4^2 + 5^2 + a\cdot4 + b\cdot5 + c &= 0\cr B\in k: \ \qquad \quad 2^2 + 1^2 + a\cdot2 + b\cdot1 + c &= 0\cr C\in k:\, (-1)^2 + 0^2 + a\cdot(-1) + b\cdot0 + c &= 0 \end{aligned}

(2) Po úprave jednotlivých rovníc vypočítal sústavu troch rovníc s tromi neznámymi $a$, $b$, a $c$: \begin{aligned} 41 + 4a + 5b + c &= 0\cr 5 + 2a + b + c &= 0\cr 1 - a + c &= 0\cr\hline \end{aligned}

Z tretej rovnice vyjadril neznámu $a = 1 + c$ a tento výraz dosadil do prvých dvoch rovníc. Tie potom upravil: \begin{aligned} 41 + 4\cdot(1 + c) + 5b + c &= 0\cr 5 + 2\cdot(1 + c) + b + c &= 0\cr\hline \end{aligned} \begin{aligned} 45 + 5b + 5c &= 0\cr 7 + b + 3c &= 0\cr\hline \end{aligned} Z druhej rovnice vyjadril neznámu $b = -7 - 3c$ a tento výraz dosadil do prvej rovnice. V nej vyriešil neznámu $c$: \begin{aligned} 45 + 5\cdot(-7 - 3c) + 5c &= 0\cr 10 - 10c &= 0\cr c &= 1 \end{aligned}

Nakoniec pomocou hodnoty $c$ dopočítal aj hodnoty neznámych $a$ a $b$: \begin{aligned} a &= 1 + c = 1 + 1 = 2\cr b &= -7 - 3c = -7 - 3\cdot1 = -10\cr \end{aligned}

(3) Zapísal všeobecný tvar rovnice kružnice $k$: $$x^2 + y^2 + 2x - 10y + 1 = 0$$ a upravil ho na stredový tvar: \begin{aligned} x^2 + 2x + y^2 - 10y + 1 &= 0 \cr \color{red}x^2 + 2x + 1\color{black} - 1 + \color{blue}y^2 - 10y + 25\color{black} - 25 + 1 &= 0\cr \color{red}(x + 1)^2\color{black} + \color{blue}(y - 5)^2\color{black} - 25 &= 0\quad / + 25\cr (x + 1)^2 + (y - 5)^2 &= 25\cr \end{aligned}

(4) Zo stredového tvaru rovnice kružnice $k$ určil súradnice jej stredu : $$S = [1; -5]$$

Je Tomášove riešenie správne? Ak nie, tak určte, kde Tomáš urobil v postupe chybu