Parabola

Parabola $P$ prechádza bodmi $K=[4; 5]$, $L=[2; 1]$, $M=[-1; 0]$ a jej os súmernosti je rovnobežná s osou $x$ sústavy súradníc. Určte vzdialenosť ohniska paraboly od jej vrcholu.

Dávid vyriešil túto úlohu v týchto krokoch:

(1) Zapísal rovnicu paraboly P vo vrcholovom tvare. Os paraboly $P$ je rovnobežná s osou $x$ sústavy súradníc, preto jej vrcholový tvar je
$$P:(y - v_2)^2 = 2p(x - v_1),$$ kde $[v_1; v_2]$ sú súradnice vrcholu paraboly a $|2p|$ je vzdialenosť ohniska $F$ od riadiacej priamky $d$, t. j. $$|VF|=|p|.$$

(2) Použil informáciu, že parabola prechádza bodmi $K=[4; 5]$, $L=[2; 1]$ a $M=[-1; 0]$:

\begin{aligned} K \in P:\quad (5 - v_2)^2 &= 2p(4 - v_1)\cr L \in P:\quad (1 - v_2)^2 &= 2p(2 - v_1)\cr M \in P:\quad (0 - v_2)^2 &= 2p(-1 - v_1) \end{aligned}

(3) V sústave troch rovníc s tromi neznámymi vypočítal neznámu $p$. Najskôr v jednotlivých rovniciach roznásobil zátvorky: \begin{aligned} 25 - 10v_2 + v_2^2 &= 8p - 2pv_1\cr 1 - 2v_2 + v_2^2 &= 4p - 2pv_1\cr v_2^2 &= -2p - 2pv_1\cr\hline \end{aligned}

Potom hodnotu $v_2^2$ z tretej rovnice dosadil do prvých dvoch rovníc: \begin{aligned} 25 - 10v_2 - 2p - 2pv_1 = 8p - 2pv_1\cr 1 - 2v_2 - 2p - 2pv_1 = 4p - 2pv_1\cr\hline \end{aligned}

V ďalšom kroku k obidvom rovniciam pripočítal výraz $2pv_1 + 2p$:

\begin{aligned} 25 - 10v_2 &= 10p\cr 1 - 2v_2 &= 6p\cr\hline \end{aligned}

Vydelil prvú rovnicu číslom $-5$:

\begin{aligned} -5 + 2v_2 &= -2p\cr 1 - 2v_2 &= 6p\cr\hline \end{aligned}

Nakoniec sčítaním obidvoch rovníc dostal rovnicu s neznámou $p$, ktorú vypočítal: $$-4 = 4p\ \Rightarrow \ p = -1$$

(4) Dávid dospel k záveru, že $|VF|=|p|=|-1|=1$.

Je Dávidove riešenie správne? Ak nie, tak určte, kde Tomáš urobil v postupe chybu.