Parabola

Parabola $P$ przechodzi przez punkty $K=[4; 5]$, $L=[2; 1]$ i $M=[-1; 0]$ a jego oś symetrii jest równoległa do $x$ oś. Określ odległość między ogniskiem a wierzchołkiem paraboli.

David rozwiązał ten problem wykonując następujące kroki:.

(1) Początkowo zapisał równanie paraboli w postaci wierzchołkowej. Oś paraboli $P$ jest równoległy do $x$-więc jego forma wierzchołkowa to: $$P:(y - v_2)^2 = 2p(x - v_1),$$ gdzie $[v_1; v_2]$ są współrzędnymi wierzchołka, a $|2p|$ to odległość ogniskowania $F$ od tarczy paraboli $P$, tj. $$|VF|=|p|$$

(2) Następnie David wykorzystał informację, że parabola przechodzi przez punkty $K=[4; 5]$, $L=[2; 1]$ i $M=[-1; 0]$:

\begin{aligned} K \in P:\quad (5 - v_2)^2 &= 2p(4 - v_1)\cr L \in P:\quad (1 - v_2)^2 &= 2p(2 - v_1)\cr M \in P:\quad (0 - v_2)^2 &= 2p(-1 - v_1) \end{aligned}

(3) Rozwiązując powyższy układ trzech równań z trzema zmiennymi, David wyznaczył wartość $p$. Najpierw rozwinął nawiasy w każdym z równań: \begin{aligned} 25 - 10v_2 + v_2^2 &= 8p - 2pv_1\cr 1 - 2v_2 + v_2^2 &= 4p - 2pv_1\cr v_2^2 &= -2p - 2pv_1\cr\hline \end{aligned}

Następnie podstawił wartość $v_2^2$ uzyskane z trzeciego równania, do dwóch pierwszych równań: \begin{aligned} 25 - 10v_2 - 2p - 2pv_1 = 8p - 2pv_1\cr 1 - 2v_2 - 2p - 2pv_1 = 4p - 2pv_1\cr\hline \end{aligned}

Następnie dodał wyrażenie $2pv_1 + 2p$ po obu stronach obu równań:

\begin{aligned} 25 - 10v_2 &= 10p\cr 1 - 2v_2 &= 6p\cr\hline \end{aligned}

Następnie podzielił pierwsze równanie przez $-5$:

\begin{aligned} -5 + 2v_2 &= -2p\cr 1 - 2v_2 &= 6p\cr\hline \end{aligned}

Na koniec, sumując te dwa równania, obliczył wartość $p$. $$-4 = 4p\ \Rightarrow \ p = -1$$

(4) David doszedł do wniosku, że $|VF|=|p|=|-1|=1$.

Czy rozwiązanie Davida jest poprawne? Jeśli nie, określ, gdzie Dawid popełnił błąd.