Zjednodušte číselný výraz $\sqrt{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}$.
Lukáš vyriešil úlohu takto: $$\begin{aligned} \sqrt{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}&\stackrel{(1)}=\cr \stackrel{(1)}=\left(\sqrt7-\sqrt5\right)+\left(\sqrt5-\sqrt3\right)-\left(\sqrt3-\sqrt7\right)&\stackrel{(2)}=\cr \stackrel{(2)}=\sqrt7-\sqrt5+\sqrt5-\sqrt3-\sqrt3+\sqrt7&\stackrel{(3)}=\cr \stackrel{(3)}=2\cdot\sqrt7-2\cdot\sqrt3&\stackrel{(4)}=\cr \stackrel{(4)}=2\cdot\left(\sqrt7-\sqrt3\right)& \end{aligned}$$
Je Lukášove riešenie správne? Ak nie, tak určte, kde Lukáš urobil v postupe chybu.
Lukášove riešenie je správne.
Chyba je v rovnosti (1). Lukáš nesprávne určil hodnotu niektorej druhej odmocniny.
Chyba je v rovnosti (2). Lukáš nesprávne odstránil niektoré zátvorky vo výraze.
Chyba je v rovnosti (3). Lukáš nesprávne spočítal niektoré hodnoty vo výraze.
Vo vyššie uvedenom riešení Lukáš nesprávne predpokladal, že $\sqrt{a^2}=a$. To však platí len pre $a\geq0$. Podľa definície platí: $$ \sqrt{a^2}=|a|=\left\{\begin{aligned} a\quad \mbox{pre}\ a\geq0,\cr -a\quad \mbox{pre}\ a<0.\end{aligned}\right. $$
Lukáš teda nesprávne určil hodnotu druhej odmocniny $\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}$. Pretože $\sqrt3-\sqrt7<0$, tak $\sqrt{\left( \sqrt3-\sqrt7\right)^2}\neq\sqrt3-\sqrt7$, ale platí: $\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}=\left|\sqrt3-\sqrt7\right|=-\left(\sqrt3-\sqrt7\right)=\sqrt7-\sqrt3$.
Správne riešenie je: $$\begin{aligned} \sqrt{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}&=\cr =\left(\sqrt7-\sqrt5\right)+\left(\sqrt5-\sqrt3\right)-\left(\sqrt7-\sqrt3\right)&=\cr =\sqrt7-\sqrt5+\sqrt5-\sqrt3-\sqrt7+\sqrt3&=0 \end{aligned}$$